Линейные дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения вида

  y⁽ⁿ⁾ + p₁(x) у^(n-1) + ... + p_n(x)y = f(x), (1)

  где у = y(x) — искомая функция, y⁽ⁿ⁾, у^(n-1),..., y' — её производные, a p₁(x), p₂(x),..., p_n(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y₀ = y₀(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов p_k(x) выражается формулой:

  y₀ = C₁y₁(x) + С₂у₂(х) + ... + C_ny_n(x),

  где C₁, C₂,..., C_n — произвольные постоянные и y₁(x), у₂(х),..., y_n(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана):

   (2)

  Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:

  y = y₀+Y,

  где y₀ = y₀(x) — общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

  ,

  где y_k(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и W_k(x) — алгебраическое дополнение элемента y_k^(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).

  Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: p_k(x) = a_k (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:

  ,

  где a_k ± ib_k (k = 1, 2, ..., m; ) — корни т. н. характеристического уравнения:

  lⁿ + a₁l^n-1 + ... +a_n = 0,

  n_k — кратности этих корней и C_ks, D_ks — произвольные постоянные.

  Пример. Для Л. д. у. y’’’ + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: l³ + 1 = 0. Его корнями являются числа:

  l₁ = -1; l₂ =  и l₃ =

  Следовательно, общее решение этого уравнения таково:

  .

  Системы Л. д. у. имеют вид:

   (3)

  (j = 1, 2, ..., n).

  Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f_j(x) º 0] даётся формулами:

  (j = 1, 2, ..., n)

  где y_j1, y_j2, ..., y_jn — линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ½y_jk(x)½ ¹ 0 хотя бы в одной точке).

  В случае постоянных коэффициентов p_jk(x) = a_jk частные решения однородной системы следует искать в виде:

  (j = 1, 2, ..., n),

  где A_js — неопределённые коэффициенты, a l_k — корни характеристического уравнения

  и m_k — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц].

  Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

  Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.