Динамічна система (у класичному сенсі), механічна система з кінцевим числом мір свободи, наприклад система кінцевого числа матеріальних крапок або твердих тіл, рухома за законами класичної динаміки. Стан такої системи зазвичай характеризується її розташуванням (конфігурацією) і швидкістю зміни останнього, а закон руху вказує, з якою швидкістю змінюється стан системи.
В простих випадках стан можна охарактеризувати за допомогою величин w 1 ..., w m , які можуть набувати довільних (речові) значень, причому двом різним наборам величин w 1 ..., w m і w'' 1 ..., w'' m відповідають різні стани, і назад, а близькість всіх w i до w i '' означає близькість відповідних станів системи. Закон руху тоді записується у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь:
w i = f i ( w 1 ..., w m ), i = 1 ..., m . (1)
Розглядаючи значення w 1 ..., w m як координати точки w в m -мерном просторі, можна геометрично представити відповідний стан Д. с. за допомогою точки w . Цю крапку називають фазовою (що інколи також змальовує, або що представляє) крапкою, а простір — фазовим простором системи (прикметник «фазовий» пов'язано з тим, що у минулому стани системи незрідка називаються її фазами). Зміна стану з часом зображається як рух фазової крапки по деякій лінії (так званою фазовій траєкторії; часто її називають просто траєкторією) у фазовому просторі. У останньому визначене векторне поле, що зіставляє кожній точці w вектор f ( w ), що виходить з неї, з компонентамі
( f 1 ( w 1 ..., w m ) ..., f m ( w 1 ..., w m ))
Диференціальні рівняння (1), які за допомогою введених позначень можна скорочено записати у вигляді
w = f ( w ), (2)
означають, що в кожен момент часу векторна швидкість руху фазової крапки дорівнює вектору f ( w ), витікаючому з тієї точки w фазового простори, де в даний момент знаходиться рухома фазова крапка. У цьому полягає так звана кінематична інтерпретація системи диференціальних рівнянь (1).
Наприклад, стан частки без внутрішніх мір свободи (матеріальної крапки), рухомої в потенційному полі з потенціалом U ( x 1 , x 2 , x 3 ), характеризується її положенням x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) і швидкістю x ; замість швидкості можна використовувати імпульс p = mx , де m — маса частки. Закон руху частки можна записати у вигляді
Формули (3) є скороченим записом системи шести звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку. Фазовим простором тут служить 6-мірне евклідове простір, 6 компонент вектора фазової швидкості суть компоненти звичайної швидкості і сили, а проекція фазової траєкторії на простір положень частки (паралельно простору імпульсів) є траєкторія частки в звичайному сенсі слова.
Термін «Д. с.» застосовується і в ширшому сенсі, означаючи довільну фізичну систему (наприклад, систему автоматичного регулювання, радіотехнічну систему), що описується диференціальними рівняннями вигляду (1) або (2), і навіть просто систему диференціальних рівнянь такого вигляду, безвідносно до її походження. Див. також ст. Ергодічеськая теорія .
Літ.: Немицкий Ст Ст і Степанов Ст Ст, Якісна теорія диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М. — Л., 1949; Коддінгтон Е. А., Льовінсон Н., Теорія звичайних диференціальних рівнянь, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1958, гл.(глав) 13—17; Халмош П. P., Лекції з ергодічеськой теорії, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1959; Лефшец С., Геометрична теорія диференціальних рівнянь, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961.
