Узагальнені функції , математичне поняття, узагальнювальне класичне поняття функції . Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних і математичних завданнях. Поняття О. ф., з одного боку, дає можливість виразити в математично коректній формі такі поняття, що ідеалізуються, як щільність матеріальної крапки (просторова), щільність простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т.д. З іншого боку, в понятті О. ф. знаходить віддзеркалення той факт, що реально не можна виміряти значення фізіч. величини в крапці, а можна вимірювати лише її середні значення в досить малих околицях даної крапки. Таким чином, О. ф. служать зручним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин. Тому в іноземній літературі О. ф. називають розподілами.
О. ф. були введені вперше в кінці 20-х рр. 20 ст П. Дираком в його дослідженнях по квантовій механіці, де він систематично використовує поняття дельта-функції і її похідних. Основи математичної теорії О. ф. були закладені С. Л. Соболевим в 1936 при вирішенні Коші завдання для гиперболіч. рівнянь, а в післявоєнні роки французький математик Л. Шварц дав систематичний виклад теорії О. ф. Надалі теорію О. ф. інтенсивно розвивали багато математиків, головним чином у зв'язку з потребами математичної фізики. Теорія О. ф. має багаточисельні вживання і все ширше входить в ужиток фізика, математика і інженера.
Формальне О. ф. визначаються як лінійні безперервні функціонали над тим або іншим лінійним простором основних функцій j(x) . Основним простором функцій є, наприклад, сукупність фінітних функцій, що нескінченно диференціюються, забезпечена належною збіжністю (або, точніше топологією). При цьому звичайні локально підсумовувані функції f (x) ототожнюються з функціоналами (регулярними О. ф.) вигляду
( f, j ) = ò f (x) j(x) dx . (1)
Довільна О. ф. f визначається як функціонал f’ , що задається рівністю
(f¢, j) = ‑ (f, j¢). (2)
При такій угоді кожна О. ф. нескінченно діфференцируєма (у узагальненому сенсі). Рівність (2) в силу є не що інше, як узагальнення формули інтеграції по частинах для функцій f (x) , що диференціюються в звичайному сенсі, так що в цьому випадку обидва поняття похідної збігаються.
Збіжність на (лінійному) безлічі О. ф. вводиться як слабка збіжність функціоналів. Виявляється, що операція диференціювання О. ф. безперервна, а послідовність О. ф, що сходиться. допускає почленноє диференціювання безконечне число разів.
Вводяться і інші операції над О. ф., наприклад свертка функцій, Фур'є перетворення, Лапласа перетворення . Теорія цих операцій набуває найбільш простої і закінченої форми в рамках поняття О. ф., що розширюють можливості класичного математичного аналізу. Тому використання О. ф. істотно розширює круг даних завдань і до того ж приводить до значних спрощень, автоматизуючи елементарні операції.
Приклади. 1) d-функція Дираку:
(d, j) = j(0),
описує щільність маси (заряду) 1, зосередженою в точці х = 0, одиничний імпульс.
2) q (x) — функція Хевісайда: q(x)= 0, х £ 0, q(x)= 1, x > 0, q'' = d;
похідна від неї дорівнює одиничному імпульсу.
3) —d'' — щільність диполя моменту 1 в точці х = 0, орієнтованого уздовж осі х .
4) md s — щільність простого шару на поверхні S з поверхневою щільністю m:
5) — щільність подвійного шару на поверхні S з поверхневою щільністю моменту n диполів, орієнтованих уздовж напряму нормалі n :
.
6) Свертка
— ньютонов потенціал з щільністю f , де f — будь-яка О. ф. [наприклад, з 1), 3), 4) і 5)].
7) Загальне вирішення рівняння коливань струни
задається формулою
u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),
де f і g — будь-які О. ф.
Літ.: Дирак П. А. М., Основи квантової механіки, пер.(переведення) з англ.(англійський), М-кодом.—Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математична збірка», 1936, т. 1 (43) № 1 (резюме на русявий.(російський) яз.(мова)); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1—2, P., 1950—51; Гельфанд І. М., Шилов Р. Е., Узагальнені функції і дії над ними, 2 видавництва, М., 1959; Володимирів Ст С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва, М., 1971.
