Скалярное произведение
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов а и b, скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b) (или ab). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.: 1) (а, b) = (b, а), 2) (aа, b) = a(а, b) (a — скаляр), 3) (a, b + c)= (a, b) + (а, с), 4) (a, a) > 0, если а ¹ 0, и (а, а) = 0, если а = 0.

загрузка...

  Длина вектора а равна . Если (а, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ^ b. Если а = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3), то (а, b) = a1 b1 + a2b2a3b3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n-мерные векторные пространства, где равенство (а, b) =  принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство, в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы  (см. Полное пространство), называют гильбертовым пространством. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b) = и С. п. определяют как .

  Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a1i + a2j + a3k и b1i + b2j + b3k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение — векторной части).