визначник, що стоїть в лівій частині Х. в., виходить з визначника матриці А = || a ik || n 1 відніманням величини l з діагональних елементів. Цим визначником є многочлен відносне Х — характеристичний многочлен. У розкритому вигляді Х. в. записується так:
,
де S 1 = a 11 + a 22 +... a nn — т.з. слід матриці, S 2 — сума всього головного мінору 2-го порядку, тобто мінору вигляду ( i < до ) і т.д., а S n — визначник матриці А . Коріння Х. в. l 1 , l 2 ..., l n називаються власними значеннями матриці А . В дійсної симетричної матриці, а також в ермітової матриці все l до дійсні, в дійсної кососимметрічной матриці все l до чисто уявні числа; в разі дійсної ортогональної матриці, а також унітарної матриці все |l до | = 1.
Х. в. зустрічаються в найрізноманітніших областях математики, механіки, фізики, техніки. У астрономії при визначенні вікових обурень планет також приходять до Х. у.; звідси і друга назва для Х. в. — вікове рівняння.
2) Х. в. лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами
a 0 l в ( n ) + a 1 в ( n-1 ) +... + a n-1 y'' + a n в = 0
— рівняння алгебри, яке виходить з даного диференціального рівняння після заміни функції в і її похідних відповідними мірами величини l, тобто рівняння
a 0 l n + a 1 l n-1 + ... + a n-1 y'' + a n в = 0.
До цього рівняння приходять при відшуканні приватного вирішення вигляду в = се l х для даного диференціального рівняння. Для системи лінійних диференціальних рівнянь
, ,
Х. в. записується за допомогою визначника
Х. в. матриці A =, складеною з коефіцієнтів рівнянь даної системи.
