Розподіли
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Розподіли

Розподіли, одне з основних понять теорії вірогідності і математичної статистики. Р. вірогідності якої-небудь випадкової величини, тобто величини, що приймає залежно від випадку те або інше чисельне значення, задається вказівкою можливих значень цієї величини і відповідної ним вірогідності. Так, наприклад, для числа m окулярів, випадних на верхній грані гральної кісті, Р. вірогідності p m задається табличкою:

загрузка...

Можливі значення m

1

2

3

4

5

6

Відповідні вірогідність pm

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

Подібним же чином Р. будь-якої випадкової величини X , можливі значення якої утворюють кінцеву або безконечну послідовність, задається вказівкою цих значень

x 1 , x 2 ..., x n , ...

і відповідної ним вірогідності

p 1 , p 2 ..., p n , ...

  При цьому вірогідність p m мають бути позитивні і в сумі повинні давати одиницю. Р. вказаного типа називаються дискретними. Прикладом дискретного Р. може служити Пуассона розподіл, визначуване вірогідністю

, r = 0, 1, 2 .,

де l > 0— параметра.

  Проте завдання Р. вказівкою можливих значень x n і відповідної вірогідності p n не завжди можливо. Наприклад, якщо величина розподілена «рівномірно» на відрізку [— 1 / 2 + 1 / 2 ], подібно до «помилок округлення» при вимірі безперервних величин, то вірогідність кожного окремого значення дорівнює нулю. Р. таких випадкових величин задається вказівкою вірогідності того, що випадкова величина Х набуде значення з будь-якого наперед заданого інтервалу. У тому випадку, коли існує функція p X ( x ) така, що вірогідність попадання Х в будь-який інтервал ( а , b ) дорівнює

  Р. величини Х називається безперервним. Функція p X ( x ) носить назву щільність вірогідності . Щільність вірогідності ненегативна і володіє тією властивістю, що

  У вказаному вище випадку рівномірного Р. на відрізку [— 1 / 2 + 1 / 2 ]

  Найважливіше Р. безперервного типа — нормальний розподіл з щільністю

  ( а і s > 0 — параметри).

  Р. випадкових величин не вичерпуються дискретним і безперервним типами: вони можуть бути і складнішої природи. Тому бажано мати такий опис Р., який був би придатний у всіх випадках. Цей опис може бути досягнуто, наприклад, при допомозі т.з. функції розподілу F X ( x ). Значення цієї функції при кожному фіксованому х дорівнює вірогідності Р { Х < х } того, що випадкова величина х набуде значення, меншого x, тобто

F X ( x ) = Р { Х < x }.

  Функція Р. є неубутна функція x, що змінюється від 0 до 1 при зміні х від — ¥ до + ¥. Вірогідність того, що Х набуде значення з деякого напівінтервалу [ а , b ), дорівнює вірогідності того, що Х задовольнятиме нерівності а £ Х < b, тобто рівна

F ( b ) - F ( а ).

  Приклади. 1) Хай Е — деяка подія, вірогідність появи якого є р , де 0 < р < 1. Тоді число m появ події Е при n незалежних спостереженнях є випадкова величина, що набуває значень m = 0, 1, 2 ..., n з вірогідністю

 ( q = 1 - p )

  Це Р. носить назва біноміального розподілу . Біноміальне Р. (см. мал.(малюнок) 1 , а і б) при великих n близько до нормального в силу Лапласа теореми .

  2) Число спостережень до першої появи події Е з прикладу 1 є випадкова величина, що набуває всіх цілих значень m = 1, 2, 3 ... з вірогідністю

p m = q m - 1 р.

  Це Р., носить назву геометричного, т.к. последовательность { pm } є геометрична прогресія (див. мал. 2 , а і б).

  3) Р. щільність якого р ( х ) рівна 1 / 2 h на деякому інтервалі ( а h , а + h ) і дорівнює нулю поза цим інтервалом, носить назву рівномірного розподілу . Відповідна функція Р. зростає лінійно від 0 до 1 при зміні х від а — h до а + h (см. мал.(малюнок) 3 , а і б).

  Подальші приклади Р. вірогідності див.(дивися) в статтях Коші розподіл, Пірсону криві, Поліноміальний розподіл, Показове розподіл,   «Хі-квадрат» розподіл, Стьюдента розподіл .

  Хай випадкові величини Х і Y зв'язані співвідношенням Y = f ( X ), де f ( x ) задана функція. Тоді Р. Y може бути задоволене просто виражено через Р. X . Наприклад, якщо Х має нормальне Р. і Y = e X , то Y має т.з. логарифмічно-нормальний розподіл з щільністю (см. мал.(малюнок) 4 )

.

  Формули, що зв'язують Р. величин X і Y, стають особливо простими, коли Y = ax + b , де а і b — постійні. Так, при а > 0

  Часто повний опис Р. (наприклад, за допомогою щільності або функції Р.) замінюють завданням невеликого числа характеристик, які вказують або на найбільш типові (у тому або іншому сенсі) значення випадкової величини, або на міру розсіяння значень випадкової величини біля деякого типового значення. З цих характеристик найбільш споживано математичне чекання (середнє значення) і дисперсію. Математичне чекання E X випадкової величини X , що має дискретне Р., визначається як сума ряду

за умови, що цей ряд сходиться абсолютно. Для випадкової величини X , що має Р. безперервного типа з щільністю p X ( x ), математичне чекання визначається формулою

E X =

за умови, що написаний інтеграл сходиться абсолютно. Якщо Y = f ( X ), то E Y може бути обчислене двома способами. Наприклад, якщо Х і Y мають безперервне Р., то, з одного боку, за визначенням

E Y =

з іншого боку, можна показати, що

E Y =

  Дисперсія D X визначається як

D X = Е ( Х — E X ) 2 ,

т. е., наприклад, для безперервного Р.

D X =

  Р. вірогідності мають багато загального з Р. яких-небудь мас на прямій. Так, випадковій величині X , що набуває значень x 1 x 2 ..., x n з вірогідністю p 1 , p 2 ..., p n , можна поставити у відповідність Р. мас, при якому в точках x до розміщені маси, рівні p до . При цьому формули для E X і D X виявляються співпадаючими з формулами, що визначають відповідно центр тяжіння і момент інерції вказаної системи матеріальних крапок. Детальніше про числові характеристики Р. див.(дивися) в статтях Квантиль, Медіана, Мода, Математичне чекання, Вірогідне відхилення, Дисперсія, Квадратичне відхилення .

  Якщо складаються декілька незалежних випадкових величин, то їх сума буде випадковою величиною, Р. якої залежить лише від Р. доданків (чого не буде, як правило, при складанні залежних випадкових величин). При цьому, наприклад, для випадку два доданків, кожне з яких має Р. безперервного типа, має місце формула:

     (*)

  У вельми широких припущеннях Р. суми незалежних випадкових величин при збільшенні числа доданків наближається до нормального Р. або до ін. граничним Р. (див. Граничні теореми теорії вірогідності). Проте для встановлення цього факту явні формули типа (*) практично непридатні, тому доказ ведеться обходним дорогою, зазвичай з використанням т.з. характеристичних функцій .

  Статистичні розподіли і їх зв'язок з імовірнісними. Хай вироблене n незалежних спостережень випадкової величини X , що має функцію Р. F ( x ) . Статистичне Р. результатів спостережень задається вказівкою наблюденних значень x 1 , x 2 ..., x r випадкової величини Х і відповідних їм частот h 1 , h 2 ..., h r (тобто стосунків числа спостережень, в яких з'являється дане значення, до загального числа спостережень). Наприклад, якщо при 15 спостереженнях значення 0 спостерігалося 8 разів, значення 1 спостерігалося 5 разів, значення 2 спостерігалося 1 раз і значення 3 спостерігалося 1 раз, то відповідне статистичне Р. задається табличкою:

 

Наблюденниє значення Xm

0

1

2

3

Відповідні частоти hm

8 / 15

1 / 3

1 / 15

1 / 15

Частоти завжди позитивні і в сумі дають одиницю. Із заміною слова «вірогідність» на слово «частота» до статистичному Р. застосовні багато визначень, дані вище для Р. вірогідності. Так, якщо x 1 , x 2 , ..., x r наблюденниє значення X , а h 1 , h 2 , ..., h r частоти цих наблюденних значень, то відповідні статистичному Р. середнє і дисперсія (т.з. вибіркове середнє і вибіркова дисперсія) визначаються рівністю

,

а відповідна функція Р. (т.з. емпірична функція розподілу) — рівністю

F* ( x ) = n x / n ,

де n x число спостережень результат яких менше х. Статистичне Р. і його характеристики можуть бути використані для наближеної вистави теоретичного Р. і його характеристик. Так, наприклад, якщо Х має кінцеві математичне чекання і дисперсію, то, як би не було e > 0, нерівності

виконуються при чималому n з вірогідністю, скільки завгодно близькою до одиниці. Т. о.,  і s 2 суть спроможні оцінки для E X і D X відповідно (див. Статистичні оцінки ). Радянський математик В. І. Глівенко показав, що при будь-якому e > 0 вірогідність нерівності

при всіх x прагне до одиниці при n , прагнучому до нескінченності. Точніший результат встановлений сов.(радянський) математиком А. Н. Колмогоровим; див.(дивися) про це Непараметричні методи в математичній статистиці.

  Багатовимірні розподіли. Хай Х і Y — дві випадкові величини. Кожній парі ( X, Y ) можна віднести точку Z на плоскості з координатами Х і Y , положення якої залежатиме від випадку. Спільне Р. величин Х і Y задається вказівкою можливих положень точки Z і відповідної вірогідності. Тут також можна виділити двох основних типів Р.

  1) Дискретні розподіли. Можливі положення точки Z утворюють кінцеву або безконечну послідовність. Р. задається вказівкою можливих положень точки Z

z 1 , z 2 , ..., z n , ...

і відповідної вірогідності p 1 , p 2 ..., p n , ...

  2) Безперервні розподіли задаються щільністю вірогідності р ( x , в ) що володіє тією властивістю, що вірогідність попадання точки Z в яку-небудь область G рівна

  Приклад: двовимірне нормальне Р. з щільністю

,

де

m X = E X , m Y = EY,

,

математичні чекання і дисперсії величин Х і Y ,

і R — коефіцієнт кореляції величин Х і Y :

  Аналогічно можна розглядати Р. вірогідності в просторах три і більшого числа вимірів. Про багатовимірних Р. див.(дивися) також Кореляція, Регресія .

  Про можливість подальших узагальнень і про зв'язок між поняттям заходи безлічі і поняттям Р. див.(дивися) Вірогідності теорія .

 

  Літ.: Гнеденко Б. Ст, Курс теорії вірогідності, д видавництво, М., 1969; Крамер Г., Математичні методи статистики пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Феллер Ст, Введення в теорію вірогідності і її застосування пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, т. 1-2, М., 1967; Большев Л. Н., Смирнов Н. Ст, Таблиці математичної статистики, 2 видавництва, М., 1968

  Ю. Ст Прохоров.

Мал. 3. Рівномірний розподіл: а — щільність вірогідності; б — функція розподілу.

Мал. 2. Геометричний розподіл: а — вірогідність ; би — функція розподілу (р = 0,2).

Мал. 4. Щільність логарифмічно-нормального розподілу (m = 2, s = 1).

Мал. 1. Біноміальний розподіл: а — вірогідність p m = ; би — функція розподілу ( n = 10, p = 0,2 ). Гладкими кривими змальовано нормальне наближення біноміального розподілу.