2) Х. ф. безліч А (у сучасній термінології — індикатор А ) — функція f ( x ), визначена на деякій безлічі Е , що містить безліч А , і що набуває значення f ( x ) = 1, якщо x належить безлічі А , і значення f ( x ) = 0, якщо x не належить йому. 3) У теорії вірогідності Х. ф. f X ( t ) випадкової величини Х визначається як математичне чекання величини e itx . Це визначення для випадкових величин, що мають щільність вірогідності p X ( x ), приводить до формули
.
Наприклад, для випадкової величини, що має нормальний розподіл з параметрами а і s, Х. ф. рівна
.
Властивості Х. ф.: кожній випадковій величині Х відповідає визначена Х. ф. f X ( t ); розподіл вірогідності для Х однозначно визначається по f X ( t ); при складанні незалежних випадкових величин відповідні Х. ф. перемножуються; при належному визначенні поняття «близькості» випадковим величинам з близькими розподілами відповідають Х. ф., що мало відрізняються один від одного, і, назад, близьким Х. ф. відповідають випадкові величини з близькими розподілами. Вказані властивості лежать в основі вживань Х. ф., зокрема до виведення граничних теорем теорії вірогідності. Вперше апарат, по суті рівнозначний Х. ф., був використаний П. Лапласом (1812), але вся сила методу Х. ф. була показана А. М. Ляпуновим (1901), що отримав з його допомогою свою відому теорему.
Поняття Х. ф. може бути узагальнено на кінцеві і безконечні системи випадкових величин (тобто на випадкові вектори і випадкові процеси).
Теорія Х. ф. має багато загального з теорією Фур'є інтеграла .
Літ.: Гнеденко Б. Ст, Курс теорії вірогідності, 5 видавництво, М., 1969; Прохоров Ю. Ст, Розанців Ю. А., Теорія вірогідності, 2 видавництва, М., 1973.
