Непараметричні методи
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Непараметричні методи

Непараметричні методи в математичній статистиці, методи безпосередньої оцінки теоретичного розподілу вірогідності і тих або інших його загальних властивостей (симетрії і т.п.) за результатами спостережень. Назва Н. м. підкреслює їх відмінність від класичних (параметричних) методів, в яких передбачається, що невідомий теоретичний розподіл належить якому-небудь сімейству, залежному від кінцевого числа параметрів (наприклад, сімейству нормальних розподілів ), і які дозволяють за результатами спостережень оцінювати невідомі значення цих параметрів і перевіряти ті або інші гіпотези відносно їх значень. Розробка Н. м. є в значній мірі заслугою радянських учених.

загрузка...

  Як приклад Н. м. можна привести знайдений А. Н. Колмогоровим спосіб перевірки узгодженості теоретичних і емпіричних розподілів (так званий критерій Колмогорова). Хай результати n незалежних спостережень деякої величини мають функцію розподілу F ( x ) і хай F n ( x ) позначає емпіричну функцію розподілу (див. Варіаційний ряд ), побудовану по цих n спостереженням, а D n найбільше по абсолютній величині значення різниці F n ( x ) — F ( x ) . Випадкова величина

має в разі безперервності F ( x ) функцію розподілу K n (l) , не залежну від F ( x ) і прагнучу при безмежному зростанні n до межі

  Звідси при чималих n, для вірогідності p n , l . Нерівності

виходить наближене вираження

  p n, l » 1 - До (l).     (*)

  Функція До (l) табульована. Її значення для деяких А приведені в таблиці.

  Таблиця функції До (l)

l

0,57

0,71

0,83

1,02

1,36

1,63

До (l)

0,10

0,30

0,50

0,75

0,95

0,99

  Рівність (*) таким чином використовується для перевірки гіпотези про те, що спостережувана випадкова величина має функцію розподілу F ( x ) : спочатку за результатами спостережень знаходять значення величини D n , а потім по формулі (*) обчислюють вірогідність здобуття відхилення F n від F, більшого або рівнішого наблюденному. Якщо вказана вірогідність досить мала, то відповідно до загальних принципів перевірки статистичних гіпотез (див. Статистична перевірка гіпотез ) гіпотезу, що перевіряється, відкидають. Інакше вважають, що результати досвіду не протіворечат гіпотезі, що перевіряється. Аналогічно перевіряється гіпотеза про те, чи отримано дві незалежні вибірки, об'єму n 1 і n 2 відповідно, з однієї і тієї ж генеральної сукупності з безперервним законом розподілу. При цьому замість формули (*) користуються тим, що вірогідність нерівності

як це було встановлено Н. Ст Смирновим, має межею До (l) , тут D n1 , n2 є найбільше по абсолютній величині значення різниці F n1 ( х ) — F n2 ( х ) .

  Іншим прикладом Н. м. можуть служити методи перевірки гіпотези про те, що теоретичний розподіл належить до сімейства нормальних розподілів. Відзначимо тут лише один з цих методів — так званий метод випрямленої діаграми. Цей метод грунтується на наступному зауваженні. Якщо випадкова величина Х має нормальний розподіл з параметрами а і s, то

де Ф -1 — функція, зворотна нормальною:

  Т. о., графік функції в = Ф -1 [ F ( x )] буде в цьому випадку прямою лінією, а графік функції в = Ф -1 [ F n (x)] — ламаною лінією, близькою до цієї прямої (див. мал. ). Міра близькості і служить критерієм для перевірки гіпотези нормальності розподілу F ( x ) .

 

  Літ.: Смирнов Н. Ст, Дунін-Барковський І. Ст, Курс теорії вірогідності і математичної статистики для технічних застосувань, 3 видавництва, М., 1969; Більше Л. Н., Смирнов Н. Ст, Таблиці математичної статистики, М., 1968.

  Ю. Ст Прохоров.

Мал. до ст. Непараметричні методи.