Марківський процес , важливий спеціальний вигляд випадкових процесів, що мають велике значення в додатках теорії вірогідності до різних розділів природознавства і техніки. Прикладом М. п. може служити розпад радіоактивної речовини. Відомо, що вірогідність розпаду даного атома за малий проміжок часу dt рівна a dt , де а — постійна, характеризуюча інтенсивність розпаду даної радіоактивної речовини; ця вірогідність не залежить від долі всіх інших атомів і від віку даного атома. Хай N позначає число атомів радіоактивної речовини в деякий початковий момент времені t = 0 і P n ( t ) — вірогідність того, що до моменту часу t розпалося n атомів. Вірогідність P n ( t ) задовольняють системі диференціальних рівнянь
,
,
Вирішуючи цю систему рівнянь при початкових даних
P 0 ( 0 ) = 1, P n ( 0 ) = 0, 1 £ n £ N ,
отримуємо
.
В даному прикладі в кожен момент часу є або 0, або 1, або 2 ..., або N атомів, що розпалися, причому число їх характеризує стан явища, що вивчається.
Розглянутий приклад укладається в наступну загальнішу схему. Хай всілякими станами системи, що вивчається, є w 1 , w 2 ..., w n ... у кінцевому або безконечному числі. У кожен момент часу система може знаходитися в одному з цих станів, і з часом відбуваються випадкові переходи з одного стану в інше. Процес називають марківським, якщо стан системи w i в деякий момент часу визначає лише вірогідність p ij ( t ) того, що через проміжок часу t система знаходитиметься в змозі w j , причому ця вірогідність не залежить від перебігу процесу в попередній період. Вірогідність p ij ( t ) називають перехідною вірогідністю. За дуже широких умов перехідна вірогідність М. п. задовольняє кінцевій або безконечній системі лінійних однорідних звичайних диференціальних рівнянь.
Теорія М. п. виникла на основі досліджень А. А. Марков (старшого), який в роботах 1907 поклав початок вивченню послідовностей залежних випробувань і пов'язаних з ними сум випадкових величин. Це напрям досліджень відомий під назвою теорії ланцюгів Марков. У теорії ланцюгів Марков розглядаються такі системи, які можуть переходити з одного стану в інше лише в сповна певні моменти часу t i , t i ..., t до ... Хай p ij позначає вірогідність того, що система у момент времені t k+1 знаходиться в змозі w j , якщо відомо, що у момент часу t до вона знаходилася в змозі w i . Дослідження ланцюгів Марков можна звести до вивчення матриць перехідної вірогідності . В той же час ряд фізиків і техніків в своїх дослідженнях показали важливість процесів, в яких дана система зазнає випадкові зміни залежно від деякого числа безперервно змінних параметрів (часу, координат і т. п.). Дослідження цього напряму не мали міцної логічної основи. Загальна теорія М. п. і їх класифікація були дани радянським математиком А. Н. Колмогоровим в 1930. Його дослідження дали логічно бездоганну математичну основу загальної теорії М. п., що охоплює, поряд з процесами описаного вище вигляду, також процеси типа дифузії, в яких стан системи характеризується координатою дифундуючої частки, що безперервно змінюється.
В цьому випадку замість перехідної вірогідності природно розглядати відповідну щільність вірогідності f ( t, х, в ) . Тоді f ( t, х, в ) є вірогідність того, що частка, що знаходилася в точці х, через проміжок часу t матиме координату, увязнену між в і y+dy . Колмогоров показав (за деяких загальних умов), що щільність f ( t, х, в ) задовольняє наступному диференціальному рівнянню з приватними похідними
,
яке раніше було введено для важливого у фізиці спеціального випадку процесу дифузії німецькими фізиками А. Фоккером і М. Планком. У цьому рівнянні коефіцієнтом A ( в ) є середню швидкість зміни координати в, а коефіцієнт В ( в ) — інтенсивність випадкових коливань біля цієї середньої. Вказане рівняння з'явилося джерелом для багатьох досліджень по теорії М. п. в СРСР і за кордоном.
Літ.: Марков А. А., Вибрані праці. Теорія чисел. Теорія вірогідності, М., 1951; Колмогоров А. Н., Про аналітичні методи в теорії вірогідності, «Успіхи математичних наук», 1938, ст 5; Феллер Ст, Введення в теорію вірогідності і її застосування, переклад з англійського, т. 1 — 2, М., 1967; Гихман І. І., Скорохід А. Ст, Введення в теорію випадкових процесів, М., 1965.
