Арифметика (греч. arithmetika, від arithmys — число), наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілих позитивних) числа і (раціональних) дробах, і діях над ними.
Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа і уміння виробляти дії з числами необхідні для практичної і культурної діяльності людини. Тому А. є елементом дошкільного виховання дітей і обов'язковим предметом шкільної програми.
За допомогою натуральних чисел конструюються багато математичних понять (наприклад, основне поняття математичного аналізу — дійсне число). У зв'язку з цим А. є одній з основних математичних наук. Коли робиться упор на логічний аналіз поняття числа, то інколи використовують термін теоретична арифметика. А. тісно пов'язана з алгеброю, в якій, зокрема, вивчаються дії над числами без врахування їх індивідуальних властивостей. Індивідуальні властивості цілих чисел складають предмет чисел теорії .
Історична довідка. Виникнувши в глибокій старовині з практичних потреб рахунку і простих вимірів, А. розвивалася у зв'язку з ускладненням господарської діяльності і соціальних стосунків, грошовими розрахунками, завданнями вимірів відстаней, часу, площ і вимогами, які пред'являли до неї інші науки.
Про виникнення рахунку і про початкові стадії утворення арифметичних понять судять зазвичай за спостереженнями, що відносяться до процесу рахунку у первісних народів, і, непрямим чином, шляхом вивчення слідів аналогічних стадій, що збереглися в мовах культурних народів і що спостерігаються при засвоєнні цих понять дітьми. Ці дані говорять про те, що розвиток тих елементів розумової діяльності, які лежать в основі процесу рахунку, проходіт ряд проміжних етапів. До них відносяться: уміння взнавати один і той же предмет і розрізняти предмети в тій, що підлягає рахунку сукупності предметів; уміння встановлювати вичерпне розкладання цієї сукупності на елементи, відмітні один від одного і в той же час рівноправні при рахунку (користування іменованою «одиницею» рахунку); уміння встановлювати відповідність між елементами двох безлічі, спочатку безпосередньо, а потім зіставленням їх з елементами разів назавжди впорядкованої сукупності об'єктів, тобто сукупності об'єктів, розташованих в певній послідовності. Елементами такої стандартної впорядкованої сукупності стають слова (числівники), що вживані при рахунку предметів будь-якої якісної природи і відповідають утворенню відвернутого поняття числа. За самих різних умов можна спостерігати схожі особливості поступового виникнення і удосконалення перерахованих навиків і що відповідають їм арифметичних понять.
Спочатку рахунок виявляється можливим лише для совокупностей з порівняно невеликого числа предметів, за межами якого кількісні відмінності усвідомлюються смутно і характеризуються словами, синонімами слова «багато», що є; при цьому знаряддям рахунку служать карби на дереві (рахунок «бирки»), рахункові камінчики, чотки, пальці рук і т.п., а також безліч, що укладає постійне число елементів, наприклад: «очі» — як синонім чисельник «два», гроно руки («пясть») — як синонім і фактична основа числівника «п'ять», і т.п.
Словесний порядковий рахунок (раз, два, три і т.д.), пряму залежність якого від пальцьового рахунку (послідовне вимовлення назв пальців, частин рук) в деяких випадках можна прослідити безпосередньо, зв'язується надалі з рахунком груп, що містять певне число предметів. Це число утворює підстава відповідної системи числення, зазвичай, в результаті рахунку по пальцях двох рук, рівне 10. Зустрічаються, проте, і угрупування по 5, по 20 (французьке 80 «quatre-vingt» = 4 ´ 20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 і навіть по 11 (Нова Зеландія). У епоху розвинених торгівельних стосунків способи нумерації (як усною, так і письмовою) природно виявляли тенденцію до одноманітності в племен, що спілкувалися між собою, і народностей; ця обставина зіграла вирішальну роль у встановленні і поширенні вживаною в наст. час системи нумерації (числення ), принципу маєткового (порозрядного) значення цифр і способів виконання арифметичних дій. Мабуть, аналогічними причинами пояснюється і загальновідома схожість імен числівників в різних мовах: наприклад, два — dva (санськр.), duo (греч.), duo (лат.), two (англ.).
Джерелом перших достовірних відомостей про стан арифметичних знань в епоху древніх цивілізацій є письмові документи Ін.(Древн) Єгипту (папіруси математичні ), написані приблизно за 2 тис. років до н. е.(наша ера) Це — збірки завдань з вказівкою їх рішень, правил дій над цілими числами і дробами з допоміжними таблицями, без яких би то не було пояснень теоретичного характеру. Вирішення деяких завдань в цій збірці виробляється, по суті, за допомогою складання і вирішення рівнянь; зустрічаються також арифметичні і геометричні прогресії.
Про досить високий рівень арифметичної культури вавілонян за 2—3 тис. років до н. е.(наша ера) дозволяють судити клинописні математичні тексти . Письмова нумерація вавілонян в клинописних текстах є своєрідним з'єднанням десяткової системи (для чисел, менших 60) з шестідесятірічной, з розрядними одиницями 60, 60 2 і т.д. Найбільш істотним показником високого рівня А. є вживання шестідесятірічних дробів з поширенням на них тієї ж системи нумерації, аналогічно сучасним десятковим дробам. Техніка виконання арифметичних дій у вавілонян, в теоретичному відношенні аналогічна звичайним прийомам в десятковій системі, ускладнювалася необхідністю удаватися до обширних таблиць множення (для чисел від 1 до 59). У клинописних матеріалах, що збереглися, були, мабуть, навчальні посібники, знаходяться, крім того, і відповідні таблиці зворотних чисел (двозначні і тризначні, тобто з точністю до 1 / 60 2 і 1 / 60 3 ), що застосовувалися при діленні.
У древніх греків практична сторона А. не отримала подальшого розвитку; система письмової нумерації, що застосовувалася ними, за допомогою букв алфавіту була значно менш пристосована для виробництва складних обчислень, ніж вавілонська (показово, зокрема, що старогрецькі астрономи вважали за краще користуватися шестідесятірічной системою). З іншого боку, старогрецькі математики поклали початок теоретичній розробці А. у частині, що стосувалася вчення про натуральні числа, теорію пропорцій, виміри величин і — в неявній формі — також і теорії ірраціональних чисел. У «Початках» Евкліда (3 ст до н.е.(наша ера)) є ті, що зберегли своє значення і до цих пір доказ нескінченності числа простих чисел, основні теореми про подільності, алгоритми для знаходження загальної міри двох відрізань і загального найбільшого дільника двох чисел (див. Евкліда алгоритм ), доказ неіснування раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2 (ірраціональність числа ), і викладена в геометричній формі теорія пропорцій. До теоретіко-числовіх завдань, що розглядалися, відносяться завдання про досконалих числах (Евклід), про піфагорових числах, а також — вже в пізнішу епоху — алгоритм для виділення простих чисел (Ератосфену решето ) і вирішення ряду невизначених рівнянь 2-ої і вищих мір (Діофант).
Істотну роль в утворенні поняття безконечного натурального ряду чисел зіграв «Псамміт» Архімеда (3 ст до н.е.(наша ера)), в якому доводиться можливість іменувати і позначати скільки завгодно великі числа. Вигадування Архімеда свідчать про досить високе мистецтво в набутті наближених значень шуканих величин: витягання кореня з багатозначних чисел, знаходження раціональних наближень для ірраціональних чисел, наприклад
Римляни не просунули вперед техніку обчислень, залишивши, проте, систему нумерації (римські цифри ), що дійшла до нашого часу, мало пристосовану для виробництва дій і вживану в даний час майже виключно для позначення порядкових чисел.
Важко прослідити спадкоємність в розвитку математики відносно попередніх, більш древніх, культур; проте надзвичайно важливі етапи у розвитку А. зв'язуються з культурою Індії, що зробила вплив як на країни Передньої Азії і Європи, так і на країни Вост. Азії (Китай, Японія). Окрім застосування алгебри до вирішення завдань арифметичного вмісту, найбільш істотна заслуга індійців — введення позиційної системи числення (із застосуванням десяти цифр, включаючи нуль для позначення відсутності одиниць в якому-небудь з розрядів), можливої, що зробила, розробку порівняно простих правил виконання основних арифметичних дій.
Учені середньовічного Сходу не лише зберегли в переведеннях спадщину старогрецьких математиків, але і сприяли поширенню і подальшому розвитку досягнень індійців. Методи виконання арифметичних дій, в значній частині ще далекі від сучасних, але вже використовуючі переваги позиційної системи числення, з 10 ст н.е.(наша ера) стали поступово проникати до Європи, раніше всього до Італії і Іспанію.
Порівняно повільний прогрес А. в середні віки змінялося до початку 17 ст швидким удосконаленням прийомів обчислення у зв'язку із збільшеними практичними запитами до техніки обчислень (завдання мореплавної астрономії, механіки, комерційні розрахунки і , що ускладнилися;т.п.). Дроби із знаменником 10, що уживалися ще індійцями (при витяганні квадратного коріння) і що неодноразово звертали на себе увагу і європейських учених застосовувалися спочатку в неявній формі в тригонометричних таблицях (у формі цілих чисел, що виражають довжини ліній синуса, тангенса і т.д. при радіусі, прийнятому за 10 5 ). Вперше (1427) детально описав систему десяткових дробів і правила дій над ними аль-Каші . Запис десяткових дробів, по суті співпадаючий з сучасною, зустрічається у вигадуваннях С. Стевіна в 1585 і з того часу набуває повсюдного поширення. До тієї ж епохи відноситься винахід логарифмів на початку 17 ст Дж. Непером . На початку 18 ст прийоми виконання і запису обчислень набувають сучасної форми.
В Росії до початку 17 ст застосовувалася нумерація, схожа з грецькою; добре і своєрідно була розроблена система усної нумерації, що доходила до 50-го розряду. З російського арифметичного керівництва почала 18 ст найбільше значення мала високо оцінена М. В. Ломоносовим «Арифметика» Л. Ф. Магніцкого (1703). У ній міститься наступне визначення А.: «Арифметики або числітельніца, є мистецтво чесне, незаздрісне, і всім легкозрозуміле, багатокорисне, і многохвальнейшєє, від прадавніх же і новітніх, в різні часи ізряднейших арифметик, що жили, винайдене, і викладене». Поряд з питаннями нумерації, викладом техніки обчислення з цілими числами і дробами (в т.ч. і десятковими) і відповідними завданнями в цьому керівництві містяться і елементи алгебри, геометрія і тригонометрії, а також ряд практичних відомостей, що відносяться до комерційних розрахунків і завдань навігації. Виклад А. набуває вже більш менш сучасного вигляду в Л. Ейлера і його учнів.
Теоретичні питання арифметики. Теоретична розробка питань, що стосуються вчення про число і вчення про вимір величин, не може бути відірвана від розвитку математики в цілому: вирішальні етапи її пов'язані з моментами, що визначали в рівній мірі і розвиток алгебри, геометрії і аналізу. Найбільш важливим треба рахувати створення загального учення про величинах, відповідного абстрактного учення про числі (цілому, раціональному і ірраціональному) і буквеного апарату алгебри.
Фундаментальне значення А. як науки, достатньої для вивчення безперервних величин різного роду, було усвідомлено лише до кінця 17 ст у зв'язку з включенням в А. поняття ірраціонального числа, визначуваного послідовністю раціональних наближень. Важливу роль при цьому зіграли апарат десяткових дробів і вживання логарифмів, що розширили область здійснюваних з необхідною точністю операцій над дійсними числами (ірраціональними нарівні з раціональними).
І. Ньютон, що вперше висловив загальне визначення числа як стосунки два значень якої-небудь величини, все ще уникав, проте, записувати знайдені ним закони у вигляді формул, що виражають значення однієї з величин через значення інших, неоднорідних з нею, і вважав за краще додавати такого роду співвідношенням форму пропорцій. Наприклад, у 1 /у 2 = x 2 /x 2 замість відповідної формули
Сучасна точка зору згідно якої всі букви у формулах означають просто числа і дії виробляються над числами, рівноправними між собою, незалежно від їх конкретного походження, ще і зараз в елементарному викладанні інколи усвідомлюється не достатньою мірою (це позначається в найменуваннях при записі дій, в надлишковій обережності при визначенні похідних фіз.(фізичний) величин і т.п.).
Аксіоматичне побудова арифметики. Початок наступного етапу — аксіоматичних побудова А. — відноситься вже до 19 ст і пов'язано із загальним процесом того, що критичного передивляється логічних основ математики, в якому найважливішу роль зіграли, зокрема, роботи Н. І. Лобачевського по геометрії. Сама простота і очевидна безперечність початкових положень А. утрудняли виділення основних положень — аксіом і визначень, які могли б служити вихідним пунктом побудови теорії. Перші натяки на можливість такої побудови є вже в доказі співвідношення 2 ´ 2= 4, даному Р. Лейбніцом (див. нижчий).
Лише в сірок.(середина) 19 ст Р. Грасману удалося вибрати систему основних аксіом, що визначають дії складання і множення так, щоб останні положення А. витікали з неї як логічне слідство. Якщо мати на увазі натуральний ряд чисел, починаючи від 1, і визначити 2 як 1+1, 3 як 2+1, 4 як 3+1 і т.д., то одного загального положення а +( b + 1) = ( а + b )+ 1, що приймається як аксіома або визначення складання, виявляється досить для того, щоб не лише вивести формули приватного типа, як, наприклад, 3+2 = 5, але, користуючись методом математичній індукції, довести і загальні властивості складання, вірні для будь-яких натуральних чисел, — переместітельний і сполучний закони. Подібну ж роль для множення грають формули а· 1 = а і а ( b + 1) = ab + а . Так, згаданий вище доказ співвідношення 2·2 = 4 можна представити у вигляді ланцюжка рівності, витікаючого з приведених тут формул і визначення чисел 2, 3 і 4, саме: 2·2 = 2(1 + 1)= 2·1 + 2·1 = 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.
Після доказу переместітельного (див. Комутативність ), сполучного (див. Асоціативність ) і розподільного (див. Дистрибутивність ) (по відношенню до складання) законів дії множення подальша побудова теорії арифметичних дій над натуральними числами не представляє вже принципової скрути. Якщо залишатися на тому ж рівні абстракції, то дробові числа доводиться вводити як пари цілих чисел (чисельник і знаменник), підлеглі певним законам порівняння і дій (див. Дріб ).
Побудова Грасмана була завершена надалі роботами Дж. Пеано, в яких виразно виділена система основних (не визначуваних через інші поняття) понять, саме: поняття натурального числа, поняття дотримання одного числа безпосередньо за іншим в натуральному ряду і поняття початкового члена натурального ряду (за який можна прийняти 0 або 1). Ці поняття зв'язані між собою п'ятьма аксіомами, які можна розглядати як аксіоматичне визначення вказаних основних понять.
Аксіоми Пеано: 1) 1 є натуральне число; 2) наступне за натуральним числом є натуральне число; 3) 1 не слідує ні за яким натуральним числом; 4) якщо натуральне число а слідує за натуральним числом b і за натуральним числом з , то b і з тотожні; 5) якщо яка-небудь пропозиція доведена для 1 і якщо з допущення, що воно вірне для натурального числа n , витікає, що воно вірне для наступного за п натурального числа, то ця пропозиція вірна для всіх натуральних чисел. Ця аксіома — аксіома повної індукції — дає можливість надалі користуватися грасмановськимі визначеннями дій і доводити загальні властивості натуральних чисел.
Ці побудови, що дають рішення задачі обгрунтування формальних положень А., залишають осторонь питання про логічну структуру А. натуральних чисел в ширшому сенсі слова, з включенням тих операцій, які визначають собою додатки А. як в рамках самої математики, так і в практичному житті. Аналіз цієї сторони питання, з'ясувавши вміст поняття кількісного числа, в той же час показав, що питання про обгрунтування А. тісно пов'язаний із загальнішими принциповими проблемами методологічного аналізу математичних дисциплін. Якщо прості пропозиції А., що відносяться до елементарного рахунку об'єктів і є узагальненням багатовікового досвіду людства, природно укладаються в простих логічної схеми, то А. як математична дисципліна, що вивчає безконечну сукупність натуральних чисел, вимагає дослідження несуперечності відповідної системи аксіом і детальнішого аналізу сенсу витікаючих з неї загальних пропозицій.
Літ.: Клейн Ф., Елементарна математика з точки зору вищої, пер.(переведення) з йому.(німецький) т. 3 видавництва, т. 1, М-код.—Л., 1935; Арнольд І. Ст, Теоретична арифметика, 2 видавництва, М., 1939; Беллюстін Ст До., Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики, М., 1940; Гребенча М. До., Арифметика, 2 видавництва, М., 1952; Берман Р. Н., Число і наука про неї, 3 видавництва, М., 1960; Дептяан І. Я., Історія арифметики, 2 видавництва, М., 1965; Вигодський М. Я., Арифметика і алгебра на Стародавньому світі, 2 видавництва, М., 1967.
