Величина, одне з основних математичних понять, сенс якого з розвитком математики піддавався ряду узагальнень.
I. Ще в «Початках» Евкліда (3 ст до н.е.(наша ера)) були виразно сформульовані властивості Ст, званих тепер, для відмінності від подальших узагальнень, позитивними скалярними величинами. Це первинне поняття Ст є безпосереднім узагальненням конкретніших понять: довжини, площі об'єму, маси і тому подібне Кожен конкретний рід Ст пов'язаний з певним способом порівняння фізичних тіл або ін. об'єктів. Наприклад, в геометрії відрізки порівнюються за допомогою накладення, і це порівняння приводить до поняття довжини: два відрізання мають одну і ту ж довжину, якщо при накладенні вони збігаються; якщо ж один відрізок накладається на частину іншого, не покриваючи його целіком, то довжина першого менше довжини другого. Загальновідомі складніші прийоми, необхідні для порівняння плоских фігур за площею або просторових тіл за об'ємом.
Відповідно до сказаного, в межах системи всіх однорідних Ст (тобто в межах системи всіх довжин або всіх площ, всіх об'ємів) встановлюється відношення нерівності: два Ст а і b одного і того ж роду або збігаються (а = b ) , або перша менше другий (а < b ) , або друга менше першою ( b < а ) . Загальновідомо також в разі довжин, площ, об'ємів і те, яким чином встановлюється для кожного роду Ст сенс операції складання. В межах кожної з даних систем однорідних Ст відношення а < b і операція а + b = з володіють наступними властивостями:
1) які б не були а і b, має місце одне і лише одне з трьох співвідношень: або а = b або а < b, або b < а.
2) якщо а < b і b < з, те а < з (транзитивність стосунків «менша», «більше»);
3) для будь-яких двох Ст а і b існує однозначно визначена Ст з = а + b,
4) а + b = b + а (комутативність складання);
5) а + ( b + з) = ( а + b ) + з (асоціативність складання);
6) а + b > а (монотонність складання);
7) якщо а > b, те існує одна і лише одна Ст з, для якої b + з = а (можливість віднімання);
8) які б не були Ст а і натуральне число n, існує така Ст b, що nb = а (можливість ділення);
9) які б не були Ст а і b, існує таке натуральне число n, що а < nb. Ця властивість називається аксіомою Евдокса, або аксіомою Архімеда. На нім разом з більш елементарними властивостями 1—8 заснована теорія виміру Ст розвинена старогрецькими математиками.
Якщо узяти яку-небудь довжину l за одиничну, то система s'' всіх довжин, що знаходяться в раціональному відношенні до l , задовольняє вимогам 1—9. Існування несумірних (див. Сумірні і несумірні величини ) відрізань (відкриття яких приписується Піфагору, 6 ст до н.е.(наша ера)) показує, що система s'' ще не охоплює системи s всіх взагалі довжин.
Щоб отримати сповна закінчену теорію Ст, до вимог 1—9 треба приєднати ще ту або іншу додаткову аксіому безперервності, наприклад:
10) якщо послідовності величин a 1 <a 2 <... <...< b 2 < b 1 володіють тією властивістю, що b n — a n < з для будь-яке Ст з при чималому номері n, те існує єдина Ст х, яка більше всіх a n і менше всіх b n .
Властивості 1—10 і визначають повністю сучасне поняття системи позитивних скалярних В. Еслі в такій системі вибрати яку-небудь Ст l за одиницю виміру, то все останні Ст системи однозначно представляються у вигляді а = al, де а. — позитивне дійсне число. Детальніше про вимір Ст див.(дивися) ст. Вимір .
II. Розгляд направлених відрізань на прямій, швидкостей, що можуть мати два протилежні напрями, і тому подібне Ст природно приводить до того узагальнення поняття скалярної Ст, яке є основним в механіці і фізиці. Система скалярних Ст в цьому розумінні включає, окрім позитивної Ст, нуль і негативну В. Вибірая в такій системі яку-небудь позитивну велічину l за одиницю виміру, виражають всі останні Ст системи у вигляді а = al, де а — дійсне число, позитивне, негативне або рівне нулю. Звичайно, систему скалярних Ст в цьому розумінні можна охарактеризувати і аксіоматично, не спираючись на поняття числа. Для цього довелося б декілька змінити вимоги 1—10, якими вище охарактеризовано поняття позитивною скалярною Ст
III. У загальнішому сенсі слова величинами називають вектори, тензори і ін. «не скалярні величини». Такі Ст можна складати, але відношення нерівності (а < b) для них втрачає сенс.
IV. У деяких більш відвернутих математичних дослідженнях грають відому роль «неархимедови» Ст, які мають із звичайними скалярними Ст те загальне, що для них зберігаються звичайні властивості нерівностей, але аксіома 9 не виконується (для скалярних Ст в сенсі пункту II вона зберігається з обмовкою, що b > 0 ) .
V. Оскільки система дійсних позитивних чисел задовольняє перерахованим вище властивостям 1—10, а система всіх дійсних чисел володіє всіма властивостями скалярних Ст, то сповна законно самі дійсні числа називати величинами. Це особливо прийнято при розгляді змінних В. Еслі яка-небудь конкретна Ст, наприклад довжина l металевого стрижня, що нагрівається, змінюється в часі, то міняється і число х, що вимірює її = l / l 0 (при постійній одиниці виміру l про ). Само це змінне у часі число х прийнято називати змінній Ст і говорити, що х приймає в які-небудь послідовні моменти часу t 1 , t 2 , ...»числові значення» X 1 , X 2 ... В традиційній математичній термінології говорити про «змінні числа» не прийнято. Проте логічніше така точка зору: числа, як і довжини, об'єми і тому подібне, є окремими випадками Ст і, як всякі Ст, можуть бути і змінними, і постійними. Настільки ж законно і розгляд змінних векторів, тензорів і тому подібне
З приводу принципового значення переходу до розгляду змінних Ст для всього розвитку математики див.(дивися) в статті Математика .
Літ.: Лебег А., Про вимір величин, пер.(переведення) з франц.(французький), 2 видавництва, М., 1960.
