Числення, нумерація, сукупність прийомів найменування і позначення чисел. Найбільш досконалим принципом представлення чисел є позиційний (маєтковий) принцип, згідно з яким один і той же числовий знак (цифра ) має різні значення залежно від того місця, де він розташований. Така система С. грунтується на тому, що деяке число n одиниць (підстава системи С.) об'єднується в одну одиницю другого розряду, n одиниць другого розряду об'єднуються в одну одиницю третього розряду і т. д. Підставою системи С. може бути будь-яке число, більше одиниці. До таких систем належить сучасна десяткова система С. (з підставою n = 10). У ній для позначення перших десяти чисел служать цифри 0, 1..., 9 (див. Десяткова система числення ) .
Не дивлячись на природність такої системи, що здається, С., вона з'явилася результатом тривалого історичного розвитку. Виникнення десяткової системи С. пов'язано з рахунком на пальцях. Були системи С. і з іншою підставою: 5, 12 (рахунок дюжинами), 20 (сліди такої системи збереглися у французькій мові, наприклад quatre-vingts, тобто буквально чотири-двадцять, означає 80), 40, 60 і ін. При наукових дослідженнях і при обчисленнях на сучасних обчислювальних машинах часто застосовується система С. з підставою 2 (див. Двійкова система числення ) .
У первісних народів не існувало розвиненої системи С. Еще в 19 ст в багатьох племен Австралії і Полінезії було лише два числівників: один і два; поєднання їх утворювали числа: 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один і 6 — два-два-два. Про всі числа, великі 6, говорили: «багато», не індивідуалізуючи їх. З розвитком суспільно-господарського життя виникла потреба в створенні систем С., які дозволили б вважати і позначати всі великі сукупності предметів. Одній з найбільш древніх систем С. є єгипетська ієрогліфічна нумерація, що виникла ще за 2500—3000 років до н.е.(наша ера) Це була десяткова непозиційна система С., в якій для запису чисел застосовувався лише принцип складання (числа, виражені поруч цифрами, що стоять, складаються). Спеціальні знаки були для одиниці, десяти, ста і інших десяткових розрядів 10 7 . Число 343 записувалося так (тут. — 300, — 40, — 3), в слов'янській: . У алфавітних системах С. запис чисел набагато коротший, ніж в попередніх; крім того, над числами, записаними в алфавітній нумерації, набагато легко виробляти арифметичні дії. Проте в алфавітних системах С. не можна записувати скільки завгодно великі числа. Греки розширили іонійську нумерацію: числа 1000, 2000..., 9000 вони позначали тими ж буквами, що і 1, 2..., 9, але ставили штрих внизу зліва: так, `а означала 1000, `b — 2000 і т. д.
Для 10 000 був введений новий знак М. Тем не менш іонійська система С. виявилася непридатною вже для астрономічних обчислень епохи еллінізму, і грецькі астрономи цього часу стали комбінувати алфавітну систему з шестідесятерічной вавілонською — першою відомою нам системою С., заснованою на позиційному принципі. У системі С. древніх вавілонян, що виникла приблизно за 2000 років до н.е.(наша ера), всі числа записувалися за допомогою двох знаків: (для одиниці) і (для десяти). Числа до 60 записувалися як комбінація цих двох знаків із застосуванням принципу складання. Число 60 знову позначалося знаком , будучи одиницею вищого розряду. Для записи чисел від 60 до 3600 знов застосовувався принцип складання, а число 36 000 позначалося тим же знаком, що і одиниця, і т. д. Число 343 = 5 60 + 4 . 10+3 в цій системі записувалося так: . Проте через відсутність знаку для нуля, яким можна було б відзначати бракуючі розряди, запис чисел в цій системі С. не була однозначною (див. Клинописні математичні тексти ) . Інша система С., заснована на позиційному принципі, виникла у індійців майя, мешканців півострова Юкатан (Центральна Америка) в середині 1-го тисячоліття н.е.(наша ера) В майя існували дві системи С.: одна, що нагадує єгипетську, уживалася в повсякденному житті, Інша — позиційна, з підставою 20 і особливим знаком для нуля, застосовувалася при календарних розрахунках. Запис в цій системі, як і в нашій сучасній, носив абсолютний характер.
Сучасна десяткова позиційна система С. виникла на основі нумерації, що зародилася не пізніше 5 ст в Індії. До цього в Індії були системи С., в яких застосовувався не лише принцип складання, але і принцип множення (одиниця якого-небудь розряду умножається на число, що стоїть зліва). Аналогічно будувалися старокитайськая система С. і деякі ін. Якщо, наприклад, умовно позначити число 3 символом III, а число 10 символом X, те число 30 запишеться як IIIX (три десятки). Такі системи С. могли служити підходом до створення десяткової позиційної нумерації.
Десяткова позиційна система С. дає принципову можливість записувати скільки завгодно великі числа. Запис чисел в ній компактний і зручний для виробництва арифметичних операцій. Тому незабаром після виникнення десяткова позиційна система С. починає поширюватися з Індії на захід і Схід. У 9 ст з'являються рукописи на арабській мові, в яких викладається ця система С., в 10 ст десяткова позиційна нумерація доходить до Іспанії, на початку 12 ст вона з'являється і в інших країнах Європи. Нова система С. отримала назву арабською, тому що в Європі з нею познайомилися вперше по латинських перекладах з арабського. Лише у 16 ст нова нумерація набула широкого поширення в науці і в життєвому ужитку. У Росії вона починає поширюватися в 17 ст верб самому початку 18 ст витісняє алфавітну. З введенням десяткових дробів десяткова позиційна система С. стала універсальним засобом для запису всіх дійсних чисел.
Літ.: Кеджорі ф.. Історія елементарної математики з вказівками на методи викладання, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, Од., 1917; Леффлер Е., Цифри і цифрові системи культурних народів в давнину і в новий час пер.(переведення) з йому.(німецький), Од., 1913; Вигодський М. Я., Арифметика і алгебра на стародавньому світі, 2 видавництва, М., 1967; Башмакова І. Р. і Юшкевіч А. Рр., Походження систем числення, в кн.: Енциклопедія елементарної математики, кн. 1, М-код.—Л., 1951.
