Множення, операція освіти по двох даних об'єктах а і b, званим співмножниками, третього об'єкту з, званого твором. В. позначається знаком Х (ввів англ.(англійський) математик У. Оутред в 1631) або • (ввів йому.(німецький) учений Г. Лейбніц в 1698); у буквеному позначенні ці знаки опускаються і замість а ´ b або а • b пишуть ab. В. має різний конкретний сенс і відповідно різні конкретні визначення залежно від конкретного вигляду співмножників і твору. В. цілих позитивних чисел є, за визначенням, дія, що відносить числам а і b третє число з, рівне сумі b доданків, кожне з яких рівне а, так що ab = а + а +... + а ( b доданків). Число а називається множеним, b – множником. В. дробових чисел і визначається рівністю (див. Дріб ) . В. раціональних чисел дає число, абсолютна величина якого дорівнює твору абсолютних величин співмножників, що має знак плюс (+), якщо обидва співмножники однакового знаку, і знак мінус (–), якщо вони різного знаку. В. ірраціональних чисел визначається при допомозі В. їх раціональних наближень. В. комплексних чисел, заданих у формі а = а + bi і b = з + di, визначається рівністю ab = ас – bd + ( ad + bc ) i. При В. комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі:
а = r 1 (cosj 1 + i sin j 1 ),
b = r 2 (cosj 2 + i sin j 2 ),
їх модулі перемножуються, а аргументи складаються:
ab = r 1 r 2 {cos (j 1 + j 2 ) + i sin ((j 1 + j 2 )}.
В. чисел однозначно і володіє наступними властивостями:
1) ab = ba (комутативність, переместітельний закон);
2) а ( bc ) = ( ab ) з (асоціативність, сполучний закон);
3) а ( b + з ) = ab + ас (дистрибутивність, розподільний закон). При цьому завжди а ×0 = 0; a× 1 = а. Вказані властивості лежать в основі звичайної техніки В. багатозначних чисел.
Подальше узагальнення поняття В. пов'язано з можливістю розглядати числа як операторів в сукупності векторів на плоскості. Наприклад, комплексному числу r (cosj + i sin j) відповідає оператор розтягування всіх векторів в r разів і повороту їх на кут j довкола початки координат. При цьому В. комплексних чисел відповідає В. відповідних операторів, тобто результатом В. буде оператор, що виходить послідовним вживанням двох даних операторів. Таке визначення В. операторів переноситься і на інші види операторів, яких вже не можна виразити за допомогою чисел (наприклад, лінійні перетворення). Це приводить до операцій В. матриць, кватерніонов, що розглядаються як оператори повороту і розтягування в тривимірному просторі, ядер інтегральних операторів і т.д. При таких узагальненнях можуть виявитися невиконаними деякі з перерахованих вище властивостей В., найчастіше – властивість комутативності (некомутативна алгебра). Вивчення загальних властивостей операції В. входить в завдання загальної алгебри, зокрема теорії груп і кілець.
