Ділення, дія, зворотна множенню ; полягає в знаходженні одного з двох співмножників, якщо відомі твір їх і ін. співмножник. Т. о., розділити а на b — це означає знайти таке х , що bx = а або xb = а . Результат Д. х називається приватним, або відношенням, а і b . Задане твір а називається ділимим, а заданий множник b — дільником. Для позначення Д. вживають знаки двокрапки ( а : b ) або горизонтальної (інколи похилою) межі (, a/b ).
В межах системи цілих чисел Д. не завжди можливо (6 ділиться на 2 і 3, але не ділиться на 5, див.(дивися) Подільність ), але в тих випадках, коли воно можливе результат його завжди визначений єдиним чином (як то кажуть, однозначно). У системі всіх раціональних чисел (тобто чисел цілих і дробів) Д. не лише однозначно, але і завжди здійсненно, за єдиним виключенням — Д. на нуль. Якщо виходити з даного вище визначення Д., то легко бачити, що Д. числа, відмінного від нуля, на нуль неможливо. Результатом Д. нуля на нуль, за визначенням, може бути будь-яке число (т.к. всегда с·0 = 0). Зазвичай в алгебрі вважають за краще (щоб не порушувати однозначності Д.) вважати, що Д. на нуль неможливо у всіх випадках.
Від точного Д., яке до цих пір розглядалося, відрізняється Д. із залишком. Це, по суті, абсолютно особлива операція, відмінна від Д. у певному вище значенні. Якщо а і b — цілі ненегативні числа, то операція Д. із залишком числа а на число b полягає у визначенні цілих ненегативних чисел х і в , що задовольняють вимогам:
1) а = xb + в ,
2) в < b .
При цьому а називається ділимим, b — дільником, х — приватним, в — залишком. Ця операція завжди осуществіма і завжди однозначна. Якщо в = 0, то говорять, що а ділиться на b без залишку. Аналогічно визначається операція Д. із залишком для многочленів вигляду
P ( x ) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+ a n .
Вона полягає в знаходженні по двох многочленах Р ( х ) і Q ( x ) двох многочленів S ( x ) і R ( x ), що задовольняють вимогам:
1) Р ( х ) = S ( x ) Q ( x ) + R ( x );
2) міра R ( x ) менше міри Q ( x ). Ця операція також завжди осуществіма і однозначна. Якщо R ( x ) º 0, то Р ( х ) ділиться на Q ( x ) без залишку.
Літ.: Депман І. Я., Історія арифметики, 2 видавництва, М., 1965; Курош А. Р., Курс вищої алгебри, 9 видавництво, М., 1968.
