Подільність
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Подільність

Подільність, здатність одного числа ділитися на інше. Властивості Д. залежать від того, які сукупності чисел розглядають. Якщо розглядають лише цілі позитивні числа, то говорять, що одне число ділиться на інше, або, інакше, одне є кратним іншого, якщо приватне від ділення першого числа (ділимого) на друге (дільник) буде також цілим числом. Число називається простим, якщо у нього немає дільників, відмінних від нього самого і від одиниці (такі, наприклад, числа 2,3,5,7,97,199 і т.д.), і складеним інакше. Будь-яке ціле число можна розкласти в твір простих, наприклад 924 = 2×2×3×7×11, причому це розкладання єдине з точністю до порядку множників (як то кажуть, однозначно); так, розкладання числа 924 на множники може бути записано також таким чином:

загрузка...

  924 = 11×7×3×2×2 = 11×3×2×2×7 і т.д.,

проте всі ці розкладання відрізняються лише порядком множників. Дане число n ділиться на просте число р в тому і лише в тому випадку, якщо р зустрічається серед простих множників, на які розкладається n . Встановлений ряд ознак Д., по яких можна легко визначити, чи ділиться число n (записане по десятковій системі числення) на дане просте число р . Серед цих ознак практично найбільш зручні наступні: для Д. на 2 треба, щоб остання цифра числа ділилася на 2; для Д. на 3, — щоб сума цифр числа ділилася на 3; для Д. на 5, — щоб остання цифра була 0 або 5; для Д. на 11, — щоб різниця суми цифр, що стоять на парних місцях,, і суми цифр, що стоять на непарних місцях, ділилася на 11. Є також ознаки Д. на складені числа: для Д. на 4 треба, щоб число, записуване двома останніми цифрами, ділилося на 4; для Д. на 8, — щоб число, записуване трьома останніми цифрами, ділилося на 8; для Д. на 9, — щоб сума цифр числа ділилася на 9. Менш зручні ознаки Д. на 7 і 13: на ці числа повинна ділитися різниця числа тисяч і числа, що виражається останніми трьома цифрами; ця операція зменшує число знаків в числі, і послідовне її вживання приводить до тризначного числа, наприклад 825 678 ділиться на 7, т.к. 825-678 = 147 ділиться на 7.

  Для двох чисел а і b серед всіх їх загальних дільників існує найбільший, званий найбільшим загальним дільником. Якщо найбільший загальний дільник двох чисел дорівнює одиниці, то числа називаються взаємно простими. Ціле число, ділячись на два взаємно простих числа, ділиться і на їх твір. На цьому факті засновані прості ознаки Д. на 6 = 2×3, на 10 = 2×5, на 12 = 3×4, на 15 = 3×5 і т.д.

  Аналогічно теорії Д. цілих чисел будується теорія Д. для многочленів і цілих чисел алгебри. При розкладанні многочленів роль простих чисел грають многочлени, що не приводяться . Властивість бути таким, що не приводиться залежить від того, які числа допускаються як коефіцієнти. При дійсних коефіцієнтах не приводяться можуть бути многочлени лише 1-ій і 2-ій мірі, при комплексних — лише 1-ій мірі. Однозначність буде знову умовна: з точністю до числового множника. Для цілих чисел алгебри теорема про однозначність розкладання на множники буде невірна; так, серед чисел вигляду

 

( а і b — цілі) число 4 (для якого а = 4, b = 0) допускає два розкладання:

 

причому жоден з множників далі не розкладемо. Ця обставина привела до введення так званих ідеальних чисел, або ідеалів, для яких вже всі теореми про розкладання зберігаються.

  Літ.: Горобців Н. Н., Ознаки подільності, М., 1963.