де f ( x ) — функція, що має при х = а похідні всіх порядків. У багатьох практично важливих випадках цей ряд сходиться до f ( x ) на деякому інтервалі з центром в крапці а:
(2)
(ця формула опублікована в 1715 Би. Тейлором ) . Різниця R n ( x ) = f ( x ) — S n ( x ) , де S n ( x ) — сума перших n + 1 членів ряду (1), називається залишковим членом Т. р. Формула (2) справедлива, якщо . Т. р. можна представити у вигляді
,
застосовному і до функцій багатьох змінних.
При а = 0 розкладання функції в Т. р. (історично неправильно званий в цьому випадку поруч Маклорена; див.(дивися) Маклорена ряд ) приймає вигляд:
,
зокрема:
(3)
(4)
(5)
(6)
.(7)
Ряд (3), що є узагальненням на випадок дробових і негативних показників формули бінома Ньютона, сходиться: при -1< х < 1, якщо m < -1; при -1< x £ 1, якщо -1< m < 0; при -1 £ x £ 1, якщо m > 0 . Ряди (4), (5) і (6) сходяться при будь-яких значеннях х, ряд (7) сходиться при -1< x £ 1.
Функція f ( z ) комплексного змінного z, регулярна в точці а, розкладається в Т. р. по мірах z — а усередині круга з центром в крапці я і з радіусом, рівним відстані від а до найближчої особливої точки функції f ( z ) . Поза цим кругом Т. р. розходиться, поведінка ж його на кордоні круга збіжності може бути вельми складним. Радіус круга збіжності виражається через коефіцієнти Т. р. (див. Радіус збіжності ).
Т. р. є потужним апаратом для дослідження функцій і для наближених обчислень. Див. також Тейлора формула .
Літ.: Хинчин А. Я., Короткий курс математичного аналізу, М., 1953; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969.
