Математична картографія
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Математична картографія

Математична картографія , картографічна дисципліна, що вивчає теорію картографічних проекцій, перетворень їх, методи дослідження проекцій і способи раціонального вживання їх на практиці. Інколи в М. до. включають весь комплекс питань, що відносяться до математичного обгрунтування карт (компоновка карт, розрахунок рамок і ін.), а також способи і засоби вимірів на картах (див. Картометрія ). М. до. тісно пов'язана з математикою, геодезією, зі всіма картографічними і іншими дисциплінами. На перших етапах (6 вік до н.е.(наша ера) — 17 вік н.е.(наша ера)) розвитку М. до. винаходилися, досліджувалися і використовувалися окремі картографічні проекції, потім (18 вік — почало 20 століть) вивчалися також окремі класи проекцій та інші сукупності їх. З середини 20 століття успішно розвивається теорія створення нових методів здобуття різних (частенько нових) класів або груп проекцій, а також теорія перетворень їх. Методи сучасною М. до. механізуються і автоматизуються, зокрема використовуються ЕОМ(електронна обчислювальна машина) для різних цілей.

загрузка...

  В М. до. розрізняють пряме і зворотне завдання. Пряме завдання М. до. — дослідження властивостей картографічних проекцій, заданих рівняннями вигляду

  x = f 1 (j, l), в = f 2 (j, l),   (1)

де (j і l — широта і довгота крапки на земному еліпсоїді . Це завдання вирішується формулами теорії спотворень. Зворотне завдання М. до. має на меті відновлення рівнянь (1), або, більш загально, знаходження проекцій по заданих в них розподілах спотворень. У процесі історичного розвитку М. до. використовувалися різні методи побудови проекцій: геометричні, аналітичні, графоаналітичні та інші, застосовні, проте, до здобуття окремих проекцій або досить вузьких совокупностей їх. Загальний метод дослідження проекцій, що дають в той же час рішення зворотної задачі М. до., виходить з системи Ейлера — Урмаєва

     (2)

де m і n — масштаби по меридіанах і паралелям, e — кут між їх зображеннями, g — зближення меридіанів. Це — система двох квазілінійних рівнянь з приватними похідними 1-го порядку (наприклад,  і т. п.). Вона недовизначена: рівнянь — два, функцій — чотири. Різні способи довизначення системи (2), що виконуються на основі апріорного завдання, потрібного для практики розміщення спотворень, дозволяють досліджувати всілякі класи проекцій. З точки зору аналізу система (2) дає необхідні і достатні умови існування проекції із заданими в них розподілами спотворень. Систему (2), формули теорії спотворень і деякі їх модифікації відносять до основних рівнянь М. до. При дослідженнях нових проекцій широко застосовують методи чисельного аналізу, теорію конформних і квазіконформних відображень, варіаційне числення і ін.

  Система (2) приводить до генетичної класифікації картографічних проекцій, що є якнайповнішій зі всіх класифікацій і охоплюючою відомі і всі мислимі проекції. У її основі лежить поняття класу проекцій як такій сукупності їх, яка [після довизначення системи (2) рівняннями проекцій в характеристиках] описується певною системою двох диференціальних рівнянь з приватними похідними 1-го порядку; наприклад, клас конформних проекцій, клас проекцій Ейлера та інші. Системи класів проекцій можуть бути еліптичних, гіперболічних і інших типів, в відповідності з чим і проекції, ними описувані, відносяться до вказаних типів, що має фундаментальне значення при дослідженні проекцій конкретних класів, що виявляється в апріорному передбаченні деяких властивостей нових проекцій. Таким чином, М. до. — це своєрідний «арсенал» картографічної науки і картографічного виробництва, в спеціальних «рубриках» якого знаходяться певні класи та інші сукупності картографічних проекцій. Для конкретного виробничого завдання звідти може бути узята потрібна проекція (або вишукана нова).

  Одній з центральних проблем М. до. є завдання побудови наївигоднейших картографічних проекцій, тобто проекцій, в яких спотворення в якому-небудь сенсі зведені до мінімуму. Вона повністю ще не вирішена навіть для добре відомих класів проекцій, хоча окремими випадками цього завдання займалися багато відомих учених (Л. Ейлер, До. Гаус, П. Л. Чебишев та інші). Проблема ставиться двояко: для заданої області знаходять проекції з мінімумом спотворень або зі всієї мислимої безлічі проекцій (ідеальні проекції), або з певного класу (найкращі проекції класу). У обох випадках завдання з математичної точки зору звертається в проблему наближення функцій два змінних. Але в останній також існують різні постановки: звертаючись, наприклад, до теорії найкращих наближень, говорять про наївигоднейших проекції мінімаксного типа, а користуючись теорією квадратичних наближень, досліджують наївигоднейшие проекції варіаційного типа. Загальна проблема побудови наївигоднейших картографічних проекцій приводить до ряду нових екстремальних завдань на умовний мінімакс і інших. До кінця досліджений лише випадок найкращих конформних проекцій. Згідно з теоремою Чебишева — Граве, найкращою конформною проекцією (чебишевськой) для даної області є та, крайня ізокола в якій збігається з контуром змальовуваної території. У чебишевських проекціях спотворення площ найменш ухиляються від нуля. Як наслідок, в них найменш ухиляються від нуля також модулі логарифмів масштабів довжин; відношення найбільшого масштабу до найменшого мінімально; мінімальна також найбільша кривизна зображень геодезичних ліній; нарешті, середнє квадратичне значення логарифмів масштабу довжин також мінімально. Таке поєднання різних позитивних властивостей в чебишевських проекцій характерний для класу конформних проекцій як найбільш простого (але і важливого для практики) серед всіх інших класів. Прикладом чебишевськой проекції є стереографічна проекція, яка при зображенні на плоскості сферичного сегменту і при спеціальному виборі довільною постійною задовольняє умовам теореми. Методика побудови чебишевських проекцій детально розроблена і для довільних територій. Теорема Чебишева — Граве справедлива для ряду деяких інших класів проекцій, неконформних, але еліптичного типа.

 

  Літ.: Солов'їв М. Д., Математична картографія, М., 1969; Мещери Р. А., Теоретичні основи математичної картографії, М., 1968; його ж, Про сучасні завдання математичної картографії, «Праці Новосибірського інституту інженерів геодезії, аерофотознімання і картографії», 1967, т. 20; Каврайський Ст Ст, Сучасні завдання математичної картографії. Тези доповіді на шостій науковій сесії БРЕШУ(Ленінградський державний університет імені А. А. Жданова), Л., 1949; Гинзбург Р. А., Про завдання математичній картографії в СРСР в області дрібномасштабних карт, «Геодезія і картографія», 1958 № 12; Павлов А. А., Математична картографія, в збірці: Підсумки науки і техніки. Картографія, т. 5, М., 1972, с. 53—66.

  Р. А. Мещери.