Картографічні проекції
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Картографічні проекції

Картографічні проекції, відображення всієї поверхні земного еліпсоїда або яку-небудь її частини на плоскість, що отримуються в основному з метою побудови карти.

загрузка...

  Масштаб. До. п. будуються в певному масштабі. Зменшуючи в думках земний еліпсоїд в М-коді разів, наприклад в 10 000 000 разів, отримують його геометричну модель — глобус, зображення якого вже у натуральну величину на плоскості дає карту поверхні цього еліпсоїда. Величина 1: М-код (у прикладі 1: 10 000 000) визначає головний, або загальний, масштаб карти. Т. до. поверхні еліпсоїда і кулі не можуть бути розгорнуті на плоскість без розривів і складок (вони не належать до класу поверхонь, що розгортаються ), будь-який До. п. властиві спотворення довжин ліній, кутів і тому подібне, властиві всякій карті. Основною характеристикою До. п. в будь-якій її крапці є приватний масштаб m. Це — величина, зворотна відношенню нескінченно малого відрізання ds на земному еліпсоїді до його зображення ds на плоскості:  причому m залежить від положення крапки на еліпсоїді і від напряму вибраного відрізання. Ясно, що m min £ m £ m max , і рівність тут можливо лише в окремих крапках або уздовж деяких ліній на карті. Т. о., головний масштаб карти характеризує її лише у загальних рисах, в деякому усередненому вигляді. Відношення m/М називають відносним масштабом, або збільшенням довжини, різниця  спотворенням довжини. При аналізі властивостей До. п. можна не брати до уваги головний масштаб; чисельне значення його враховується лише при обчисленнях координат крапок До. п. Тому часто, наприклад в теорії спотворень, вважають М-коди = 1.

  Загальні відомості. Теорія До. п. — математична картографія має своїй на меті вивчення всіх видів спотворень відображень поверхні земного еліпсоїда на плоскість і розробку методів побудови таких проекцій, в яких спотворення мали б або найменші (у якому-небудь сенсі) значення або заздалегідь заданий розподіл.

  Виходячи з потреб картографії, в теорії До. п. розглядають відображення поверхні земного еліпсоїда на плоскість. Т. до. земний еліпсоїд має мале стискування, і його поверхня трохи відступає від сфери, а також у зв'язку з тим, що До. п. необхідні для складання карт в середніх і дрібних масштабах ( М-код > 1 000 000), то часто обмежуються розглядом відображень на плоскість сфери деякого радіусу R , відхиленнями якої від еліпсоїда можна нехтувати або яким-небудь чином врахувати. Тому далі маються на увазі відображення на плоскість хОу сфери, віднесеної до географічних координат j (широта) і l (довгота).

  Рівняння будь-який До. п. мають вигляд

x = f 1 (j, l), в = f 2 (j, l) , (1)

  де f 1 і f 2 — функції, що задовольняють деяким загальним умовам. Зображення меридіанів l = const і паралелей j = const в даній До. п. утворюють картографічну сітку. До. п. може бути визначена також двома рівняннями, в яких фігурують не прямокутні координати х , в плоскості, а які-небудь інші. Деякі До. п. [наприклад, перспективні проекції (зокрема, ортографічні, мал. 2 ) перспективно-циліндрові ( мал. 7 ) і ін.] можна визначити геометричними побудовами. До. п. визначають також правилом побудови відповідною їй картографічної сітки або такими її характеристичними властивостями, з яких можуть бути отримані рівняння вигляду (1), що повністю визначають проекцію.

  Короткі історичні відомості. Розвиток теорії До. п., як і всій картографії, тісно пов'язано з розвитком геодезії, астрономії, географії, математики. Наукові основи картографії були закладені в Древній Греції (6—1 вв.(століття) до н.е.(наша ера)). Прадавньою До. п. вважається гномонічна проекція, застосована Фалесом Мілетським до побудови карт зоряного піднебіння. Після встановлення в 3 ст до н.е.(наша ера) кулястості Землі До. п. стали винаходитися і використовуватися при складанні географічних карт ( Гиппарх, Птолемей і ін.). Значний підйом картографії в 16 ст, викликаний Великими географічними відкриттями, привів до створення ряду нових проекцій; одна з них, запропонована Р. Меркатором, використовується і в даний час (див. Меркатора проекція ). У 17—18 вв.(століття), коли широка організація топографічних зйомок стала поставляти достовірний матеріал для складання карт на значній території, До. п. розроблялися як основа для топографічних карт> (французький картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассині ), а також виконувалися дослідження окремих найбільш важливих груп До. п. (І. Ламберт, Л. Ейлер, Же. Лагранж і ін.). Розвиток військової картографії і подальше збільшення об'єму топографічних робіт в 19 ст зажадали забезпечення математичної основи великомасштабних карт і введення системи прямокутних координат на базі, більш відповідною До. п. Це привело До. Гауса до розробки фундаментальною геодезичній проекції . Нарешті, в середині 19 ст А. Тіссо (Франція) дав загальну теорію спотворень До. п. Розвиток теорії До. п. в Росії було тісно пов'язано із запитами практики і дало багато оригінальних результатів (Л. Ейлер, Ф. І. Шуберт, П. Л. Чебишев, Д. А. Граве і ін.). У працях радянських картографів Ст Ст Каврайського, Н. А. Урмаєва і ін. розроблені нові групи До. і., окремі їх варіанти (до стадії практичного використання), важливі питання загальної теорії До. п., класифікації їх і ін.

  Теорія спотворень. Спотворення в нескінченно малою області біля якої-небудь точки проекції підкоряються деяким загальним законам. У всякій точці карти в проекції, рівнокутній (див. нижчий), що немає, існують два таких взаємно перпендикулярних напряму, яким на поверхні, що відображується, відповідають також взаємно перпендикулярні напрями, це — так звані головні напрями відображення. Масштаби по цих напрямах (головні масштаби) мають екстремальні значення: m max = а і m min = b . Якщо в якій-небудь проекції меридіани і паралелі на карті перетинаються під прямим кутом, то їх напрями і є головні для даної проекції. Спотворення довжини в даній точці проекції наочно представляє еліпс спотворень, подібний і подібно розташований зображенню нескінченно малого кола, описаного довкола відповідної точки поверхні, що відображується. Півдіаметри цього еліпса чисельно дорівнюють приватним масштабам в даній крапці в відповідних напрямах, піввісь еліпса дорівнюють екстремальним масштабам, а напрями їх — головні.

  Зв'язок між елементами еліпса спотворень, спотвореннями До. п. і приватними похідними функцій (1) встановлюється основними формулами теорії спотворень.

  Класифікація картографічних проекцій за положенням полюса і спользуємих сферичних координат. Полюси сфери суть особливі точки географічної координації, хоча сфера в цих крапках не має яких-небудь особливостей. Значить, при картографуванні областей, що містять географічні полюси, бажано інколи застосовувати не географічні координати, а інші, в яких полюси виявляються звичайними точками координації. Тому на сфері використовують сферичні координати, координатні лінії яких, так звані вертікали (умовна довгота на них а = const ) і альмукантарати (де полярні відстані z = const ), аналогічні географічним меридіанам і паралелям, але їх полюс Z 0 не збігається з географічним полюсом P 0 ( мал. 1 ). Перехід від географічних координат j , l будь-якої точки сфери до її сферичних координат z , а при заданому положенні полюса Z 0 (j 0 , l 0 ) здійснюється по формулах сферичної тригонометрії. Всяка До. п., дана рівняннями (1), називається нормальною, або прямій ( j 0 = p/2 ). Якщо та ж сама проекція сфери обчислюється по тих же формулах (1), в яких замість j , l фігурують z , а , то ця проекція називається поперечною при j 0 = 0 , l 0 і косою, якщо 0 < j 0 < p/2 . Вживання косих і поперечних проекцій приводить до зменшення спотворень. На мал. 2 показана нормальна (а), поперечна (б) і коса (в) ортографічні проекції сфери (поверхні кулі).

  Класифікація картографічних проекцій по характеру спотворень. В рівнокутних (конформних) До. п. масштаб залежить лише від положення крапки і не залежить від напряму. Еліпси спотворень вироджуються в колі. Приклади — проекція Меркатор, стереографічна проекція .

  В рівновеликих (еквівалентних) До. п. зберігаються площі; точніше, площі фігур на картах, складених в таких проекціях, пропорційні площам відповідних фігур в натурі, причому коефіцієнт пропорційності — величина зворотна квадрату головного масштабу карти. Еліпси спотворень завжди мають однакову площу, розрізняючись формою і орієнтуванням.

  Довільні До. п. не відносяться ні до рівнокутних, ні до рівновеликих. З них виділяють равнопромежуточниє, в яких один з головних масштабів дорівнює одиниці, і ортодромічні, в яких великі круги кулі (ортодроми) зображаються прямими.

  При зображенні сфери на плоскості властивості равноугольності, равновелікості, равнопромежуточності і ортодромічності несумісні. Для показу спотворень в різних місцях змальовуваної області застосовують: а) еліпси спотворень, побудовані в різних місцях сітки або ескіза карти ( мал. 3 ); би) ізоколи, тобто лінії рівного значення спотворень (на мал. 8в див.(дивися) ізоколи найбільшого спотворення кутів з і ізоколи масштабу площ р ); у) зображення в деяких місцях карти деяких сферичних ліній, зазвичай ортодромій (О) і локсодромій (Л), див.(дивися) мал. 3а , і ін.

  Класифікація нормальних картографічних проекцій по вигляду зображень м ерідіанов і паралелей, що є результатом історичного розвитку теорії До. п., об'емлет більшість відомих проекцій. У ній збереглися найменування, пов'язані з геометричним методом здобуття проекцій, проте дані їх групи тепер визначають аналітично.

  Циліндрові проекції ( мал. 3 ) — проекції, в яких меридіани зображаються рівновіддаленими паралельними прямими, а паралелі — прямими, перпендикулярними до зображень меридіанів. Вигідні для зображення територій, витягнутих уздовж екватора або які-небудь паралелі. У навігації використовується проекція Меркатора — рівнокутна циліндрова проекція. Проекція Гауса — Крюгера — рівнокутна поперечно-циліндрична До. п. — застосовується при складанні топографічних карт і обробці тріангуляцій.

  Конічні проекції ( мал. 4 ) — проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, меридіани — ортогональними їм прямими. У цих проекціях спотворення не залежать від довготи. Особливо придатні для територій, витягнутих уподовж паралелей. Карти всієї території СРСР часто складаються в рівнокутних і равнопромежуточних конічних проекціях. Використовуються також як геодезичні проекції .

  Азимутні проекції ( мал. 5 ) — проекції, в яких паралелі — концентричні кола, меридіани — їх радіуси, при цьому кути між останніми дорівнюють відповідним різницям довгот. Окремим випадком азимутних проекцій є перспективні проекції.

  Псевдоконічні проекції ( мал. 6 ) — проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, середній меридіан — прямою лінією, останні меридіани — кривими. Часто застосовується рівновелика псевдоконічна проекція Бонна; у ній з 1847 складалася триверста (1: 126 000) карта Європейської частини Росії.

  Псевдоциліндрові проекції ( мал. 8 ) — проекції, в яких паралелі зображаються паралельними прямими, середній меридіан — прямою лінією, перпендикулярною цим прямим і віссю симетрії проекцій, що є, останні меридіани — кривими.

  Поліконічні проекції ( мал. 9 ) — проекції, в яких паралелі зображаються колами з центрами, розташованими на одній прямій, що змальовує середній меридіан. При побудові конкретних поліконічних проекцій ставляться додаткові умови. Одна з поліконічних проекцій рекомендована для міжнародної (1: 1 000 000) карти.

  Існує багато проекцій, що не відносяться до вказаних видів. Циліндрові, конічні і азимутні проекції, звані простими, часто відносять до кругових проекцій в широкому сенсі, виділяючи з них кругові проекції у вузькому сенсі — проекції, в яких всі меридіани і паралелі зображаються колами, наприклад конформні проекції Лагранжа, проекція Грінтена і ін.

  Використання і вибір картографічних проекцій залежать головним чином від призначення карти і її масштабу, якими часто обумовлюється характер спотворень, що допускаються, в обираній До. п. Карти крупних і середніх масштабів, призначені для вирішення метричних завдань, зазвичай складають в рівнокутних проекціях, а карти дрібних масштабів, використовувані для загальних оглядів і визначення співвідношення площ яких-небудь територій — в рівновеликих. При цьому можливе деяке порушення визначальних умов цих проекцій ( w º 0 або р º 1 ), що не приводить до відчутних погрішностей, тобто допустимий вибір довільних проекцій, з яких частіше застосовують проекції равнопромежуточниє по меридіанах. До останніх прибігають і тоді, коли призначенням карти взагалі не передбачено збереження кутів або площ. При виборі До. п. починають з простих, потім переходять до складніших проекцій, навіть, можливо, модифікуючи їх. Якщо жодна з відомих До. п. не задовольняє вимогам, що пред'являються до карти, що складається, з боку її призначення, то знаходять нову, найбільш відповідну До. п., намагаючись (наскільки це можливо) зменшити спотворення в ній. Проблема побудови наївигоднейших До. п., в яких спотворення в якому-небудь сенсі зведені до мінімуму, повністю ще не вирішена.

  До. п. використовуються також в навігації, астрономії, кристалографії і др.; їх знаходять для цілей картографування Місяця, планет і ін. небесних тіл.

  Перетворення проекцій. Розглядаючи дві До. п., задані відповідними системами рівнянь: x = f 1 (j, l) , в = f 2 (j, l) і X = g 1 (j l) , Y = g 2 (j, l) , можна, виключаючи з цих рівнянні j і l, встановити перехід від однієї з них до іншої:

Х = F 1 (x, в) , Y = F 2 (x, в) .

Ці формули при конкретизації вигляду функцій F 1 , F 2 , по-перше, дають загальний метод здобуття так званих похідних проекцій; по-друге складають теоретичну основу всіляких способів технічних прийомів складання карт (див. Географічні карти ). Наприклад, аффінниє і лінійні для дробу перетворення здійснюються за допомогою картографічних трансформаторів . Проте загальніші перетворення вимагають вживання новою, зокрема електронною, техніка. Завдання створення досконалих трансформаторів До. п. — актуальна проблема сучасної картографії.

  Літ.: Вітковський Ст, Картографія. (Теорія картографічних проекцій), СП(Збори постанов) БИ. 1907; Каврайський Ст Ст, Математична картографія, М. — Л., 1934; його ж, Ізбр. праці, т. 2, ст 1—3, [М.], 1958—60; Урмаєв Н. А., Математична картографія, М., 1941; його ж, Методи дослідження нових картографічних проекцій, М., 1947; Граур А. Ст, Математична картографія, 2 видавництва, Л., 1956; Гинзбург Р. А., Картографічні проекції, М., 1951; Мещери Р. А., Теоретичні основи математичної картографії, М., 1968.

  Р. А. Мещери.

4б. Конічні проекції. Равнопромежуточная.

Мал. 8б. Псевдоциліндрові проекції. Рівновелика синусоїдальна проекція Ст Ст Каврайського.

Мал. 9а. Поліконічні проекції. Проста.

Мал. 5в. Азимутні проекції. Рівновелика (зліва — поперечна, справа — коса).

3б. Циліндрові проекції. Равнопромежуточная (прямокутна).

Мал. 6. Псевдоконічна рівновелика проекція Бонна.

Мал. 8а. Псевдоциліндрові проекції. Рівновелика проекція Мольвейде.

4а. Конічні проекції. Рівнокутна.

Мал. 5б. Азимутні проекції. Равнопромежуточная (зліва — поперечна, справа — коса).

Мал. 7. Коса перспективно-циліндрова проекція М. Д. Соловьева.

2. Куля і його ортографічні проекції.

Мал. 9б. Поліконічні проекції. Довільна проекція Р. А. Гинзбурга.

4в. Конічні проекції. Рівновелика.

Мал. 5а. Азимутні проекції. Рівнокутна (стереографічна) зліва — поперечна, справа — коса.

3в. Циліндрові проекції. Рівновелика (ізоциліндрічеськая).

Мал. 8г. Псевдоциліндрові проекції. Проекція БСАМ.

3а. Циліндрові проекції. Рівнокутна Меркатора.

1. Мережі сферичних координатних ліній.

Мал. 8в. Псевдоциліндрові проекції. Довільна проекція ЦНІЇГАїК.