Картографічні проекції, відображення всієї поверхні земного еліпсоїда або яку-небудь її частини на плоскість, що отримуються в основному з метою побудови карти.
Масштаб. До. п. будуються в певному масштабі. Зменшуючи в думках земний еліпсоїд в М-коді разів, наприклад в 10 000 000 разів, отримують його геометричну модель — глобус, зображення якого вже у натуральну величину на плоскості дає карту поверхні цього еліпсоїда. Величина 1: М-код (у прикладі 1: 10 000 000) визначає головний, або загальний, масштаб карти. Т. до. поверхні еліпсоїда і кулі не можуть бути розгорнуті на плоскість без розривів і складок (вони не належать до класу поверхонь, що розгортаються ), будь-який До. п. властиві спотворення довжин ліній, кутів і тому подібне, властиві всякій карті. Основною характеристикою До. п. в будь-якій її крапці є приватний масштаб m. Це — величина, зворотна відношенню нескінченно малого відрізання ds на земному еліпсоїді до його зображення ds на плоскості: причому m залежить від положення крапки на еліпсоїді і від напряму вибраного відрізання. Ясно, що m min £ m £ m max , і рівність тут можливо лише в окремих крапках або уздовж деяких ліній на карті. Т. о., головний масштаб карти характеризує її лише у загальних рисах, в деякому усередненому вигляді. Відношення m/М називають відносним масштабом, або збільшенням довжини, різниця спотворенням довжини. При аналізі властивостей До. п. можна не брати до уваги головний масштаб; чисельне значення його враховується лише при обчисленнях координат крапок До. п. Тому часто, наприклад в теорії спотворень, вважають М-коди = 1.
Загальні відомості. Теорія До. п. — математична картографія — має своїй на меті вивчення всіх видів спотворень відображень поверхні земного еліпсоїда на плоскість і розробку методів побудови таких проекцій, в яких спотворення мали б або найменші (у якому-небудь сенсі) значення або заздалегідь заданий розподіл.
Виходячи з потреб картографії, в теорії До. п. розглядають відображення поверхні земного еліпсоїда на плоскість. Т. до. земний еліпсоїд має мале стискування, і його поверхня трохи відступає від сфери, а також у зв'язку з тим, що До. п. необхідні для складання карт в середніх і дрібних масштабах ( М-код > 1 000 000), то часто обмежуються розглядом відображень на плоскість сфери деякого радіусу R , відхиленнями якої від еліпсоїда можна нехтувати або яким-небудь чином врахувати. Тому далі маються на увазі відображення на плоскість хОу сфери, віднесеної до географічних координат j (широта) і l (довгота).
Рівняння будь-який До. п. мають вигляд
x = f 1 (j, l), в = f 2 (j, l) , (1)
де f 1 і f 2 — функції, що задовольняють деяким загальним умовам. Зображення меридіанів l = const і паралелей j = const в даній До. п. утворюють картографічну сітку. До. п. може бути визначена також двома рівняннями, в яких фігурують не прямокутні координати х , в плоскості, а які-небудь інші. Деякі До. п. [наприклад, перспективні проекції (зокрема, ортографічні, мал. 2 ) перспективно-циліндрові ( мал. 7 ) і ін.] можна визначити геометричними побудовами. До. п. визначають також правилом побудови відповідною їй картографічної сітки або такими її характеристичними властивостями, з яких можуть бути отримані рівняння вигляду (1), що повністю визначають проекцію.
Короткі історичні відомості. Розвиток теорії До. п., як і всій картографії, тісно пов'язано з розвитком геодезії, астрономії, географії, математики. Наукові основи картографії були закладені в Древній Греції (6—1 вв.(століття) до н.е.(наша ера)). Прадавньою До. п. вважається гномонічна проекція, застосована Фалесом Мілетським до побудови карт зоряного піднебіння. Після встановлення в 3 ст до н.е.(наша ера) кулястості Землі До. п. стали винаходитися і використовуватися при складанні географічних карт (Гиппарх,Птолемей і ін.). Значний підйом картографії в 16 ст, викликаний Великими географічними відкриттями, привів до створення ряду нових проекцій; одна з них, запропонована Р. Меркатором, використовується і в даний час (див. Меркатора проекція ). У 17—18 вв.(століття), коли широка організація топографічних зйомок стала поставляти достовірний матеріал для складання карт на значній території, До. п. розроблялися як основа для топографічних карт> (французький картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассині ), а також виконувалися дослідження окремих найбільш важливих груп До. п. (І. Ламберт, Л. Ейлер, Же. Лагранж і ін.). Розвиток військової картографії і подальше збільшення об'єму топографічних робіт в 19 ст зажадали забезпечення математичної основи великомасштабних карт і введення системи прямокутних координат на базі, більш відповідною До. п. Це привело До. Гауса до розробки фундаментальною геодезичній проекції . Нарешті, в середині 19 ст А. Тіссо (Франція) дав загальну теорію спотворень До. п. Розвиток теорії До. п. в Росії було тісно пов'язано із запитами практики і дало багато оригінальних результатів (Л. Ейлер, Ф. І. Шуберт, П. Л. Чебишев, Д. А. Граве і ін.). У працях радянських картографів Ст Ст Каврайського, Н. А. Урмаєва і ін. розроблені нові групи До. і., окремі їх варіанти (до стадії практичного використання), важливі питання загальної теорії До. п., класифікації їх і ін.
Теорія спотворень. Спотворення в нескінченно малою області біля якої-небудь точки проекції підкоряються деяким загальним законам. У всякій точці карти в проекції, рівнокутній (див. нижчий), що немає, існують два таких взаємно перпендикулярних напряму, яким на поверхні, що відображується, відповідають також взаємно перпендикулярні напрями, це — так звані головні напрями відображення. Масштаби по цих напрямах (головні масштаби) мають екстремальні значення: m max = а і m min = b . Якщо в якій-небудь проекції меридіани і паралелі на карті перетинаються під прямим кутом, то їх напрями і є головні для даної проекції. Спотворення довжини в даній точці проекції наочно представляє еліпс спотворень, подібний і подібно розташований зображенню нескінченно малого кола, описаного довкола відповідної точки поверхні, що відображується. Півдіаметри цього еліпса чисельно дорівнюють приватним масштабам в даній крапці в відповідних напрямах, піввісь еліпса дорівнюють екстремальним масштабам, а напрями їх — головні.
Зв'язок між елементами еліпса спотворень, спотвореннями До. п. і приватними похідними функцій (1) встановлюється основними формулами теорії спотворень.
Класифікація картографічних проекцій за положенням полюса і спользуємих сферичних координат. Полюси сфери суть особливі точки географічної координації, хоча сфера в цих крапках не має яких-небудь особливостей. Значить, при картографуванні областей, що містять географічні полюси, бажано інколи застосовувати не географічні координати, а інші, в яких полюси виявляються звичайними точками координації. Тому на сфері використовують сферичні координати, координатні лінії яких, так звані вертікали (умовна довгота на них а = const ) і альмукантарати (де полярні відстані z = const ), аналогічні географічним меридіанам і паралелям, але їх полюс Z 0 не збігається з географічним полюсом P 0 ( мал. 1 ). Перехід від географічних координат j , l будь-якої точки сфери до її сферичних координат z , а при заданому положенні полюса Z 0 (j 0 , l 0 ) здійснюється по формулах сферичної тригонометрії. Всяка До. п., дана рівняннями (1), називається нормальною, або прямій ( j 0 = p/2 ). Якщо та ж сама проекція сфери обчислюється по тих же формулах (1), в яких замість j , l фігурують z , а , то ця проекція називається поперечною при j 0 = 0 , l 0 і косою, якщо 0 < j 0 < p/2 . Вживання косих і поперечних проекцій приводить до зменшення спотворень. На мал. 2 показана нормальна (а), поперечна (б) і коса (в) ортографічні проекції сфери (поверхні кулі).
Класифікація картографічних проекцій по характеру спотворень. В рівнокутних (конформних) До. п. масштаб залежить лише від положення крапки і не залежить від напряму. Еліпси спотворень вироджуються в колі. Приклади — проекція Меркатор, стереографічна проекція .
В рівновеликих (еквівалентних) До. п. зберігаються площі; точніше, площі фігур на картах, складених в таких проекціях, пропорційні площам відповідних фігур в натурі, причому коефіцієнт пропорційності — величина зворотна квадрату головного масштабу карти. Еліпси спотворень завжди мають однакову площу, розрізняючись формою і орієнтуванням.
Довільні До. п. не відносяться ні до рівнокутних, ні до рівновеликих. З них виділяють равнопромежуточниє, в яких один з головних масштабів дорівнює одиниці, і ортодромічні, в яких великі круги кулі (ортодроми) зображаються прямими.
При зображенні сфери на плоскості властивості равноугольності, равновелікості, равнопромежуточності і ортодромічності несумісні. Для показу спотворень в різних місцях змальовуваної області застосовують: а) еліпси спотворень, побудовані в різних місцях сітки або ескіза карти ( мал. 3 ); би) ізоколи, тобто лінії рівного значення спотворень (на мал. 8в див.(дивися) ізоколи найбільшого спотворення кутів з і ізоколи масштабу площ р ); у) зображення в деяких місцях карти деяких сферичних ліній, зазвичай ортодромій (О) і локсодромій (Л), див.(дивися) мал. 3а , 3б і ін.
Класифікація нормальних картографічних проекцій по вигляду зображень м ерідіанов і паралелей, що є результатом історичного розвитку теорії До. п., об'емлет більшість відомих проекцій. У ній збереглися найменування, пов'язані з геометричним методом здобуття проекцій, проте дані їх групи тепер визначають аналітично.
Циліндрові проекції ( мал. 3 ) — проекції, в яких меридіани зображаються рівновіддаленими паралельними прямими, а паралелі — прямими, перпендикулярними до зображень меридіанів. Вигідні для зображення територій, витягнутих уздовж екватора або які-небудь паралелі. У навігації використовується проекція Меркатора — рівнокутна циліндрова проекція. Проекція Гауса — Крюгера — рівнокутна поперечно-циліндрична До. п. — застосовується при складанні топографічних карт і обробці тріангуляцій.
Конічні проекції ( мал. 4 ) — проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, меридіани — ортогональними їм прямими. У цих проекціях спотворення не залежать від довготи. Особливо придатні для територій, витягнутих уподовж паралелей. Карти всієї території СРСР часто складаються в рівнокутних і равнопромежуточних конічних проекціях. Використовуються також як геодезичні проекції .
Азимутні проекції ( мал. 5 ) — проекції, в яких паралелі — концентричні кола, меридіани — їх радіуси, при цьому кути між останніми дорівнюють відповідним різницям довгот. Окремим випадком азимутних проекцій є перспективні проекції.
Псевдоконічні проекції ( мал. 6 ) — проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, середній меридіан — прямою лінією, останні меридіани — кривими. Часто застосовується рівновелика псевдоконічна проекція Бонна; у ній з 1847 складалася триверста (1: 126 000) карта Європейської частини Росії.
Псевдоциліндрові проекції ( мал. 8 ) — проекції, в яких паралелі зображаються паралельними прямими, середній меридіан — прямою лінією, перпендикулярною цим прямим і віссю симетрії проекцій, що є, останні меридіани — кривими.
Поліконічні проекції ( мал. 9 ) — проекції, в яких паралелі зображаються колами з центрами, розташованими на одній прямій, що змальовує середній меридіан. При побудові конкретних поліконічних проекцій ставляться додаткові умови. Одна з поліконічних проекцій рекомендована для міжнародної (1: 1 000 000) карти.
Існує багато проекцій, що не відносяться до вказаних видів. Циліндрові, конічні і азимутні проекції, звані простими, часто відносять до кругових проекцій в широкому сенсі, виділяючи з них кругові проекції у вузькому сенсі — проекції, в яких всі меридіани і паралелі зображаються колами, наприклад конформні проекції Лагранжа, проекція Грінтена і ін.
Використання і вибір картографічних проекцій залежать головним чином від призначення карти і її масштабу, якими часто обумовлюється характер спотворень, що допускаються, в обираній До. п. Карти крупних і середніх масштабів, призначені для вирішення метричних завдань, зазвичай складають в рівнокутних проекціях, а карти дрібних масштабів, використовувані для загальних оглядів і визначення співвідношення площ яких-небудь територій — в рівновеликих. При цьому можливе деяке порушення визначальних умов цих проекцій ( w º 0 або р º 1 ), що не приводить до відчутних погрішностей, тобто допустимий вибір довільних проекцій, з яких частіше застосовують проекції равнопромежуточниє по меридіанах. До останніх прибігають і тоді, коли призначенням карти взагалі не передбачено збереження кутів або площ. При виборі До. п. починають з простих, потім переходять до складніших проекцій, навіть, можливо, модифікуючи їх. Якщо жодна з відомих До. п. не задовольняє вимогам, що пред'являються до карти, що складається, з боку її призначення, то знаходять нову, найбільш відповідну До. п., намагаючись (наскільки це можливо) зменшити спотворення в ній. Проблема побудови наївигоднейших До. п., в яких спотворення в якому-небудь сенсі зведені до мінімуму, повністю ще не вирішена.
До. п. використовуються також в навігації, астрономії, кристалографії і др.; їх знаходять для цілей картографування Місяця, планет і ін. небесних тіл.
Перетворення проекцій. Розглядаючи дві До. п., задані відповідними системами рівнянь: x = f 1 (j, l) , в = f 2 (j, l) і X = g 1 (j l) , Y = g 2 (j, l) , можна, виключаючи з цих рівнянні j і l, встановити перехід від однієї з них до іншої:
Х = F 1 (x, в) , Y = F 2 (x, в) .
Ці формули при конкретизації вигляду функцій F 1 , F 2 , по-перше, дають загальний метод здобуття так званих похідних проекцій; по-друге складають теоретичну основу всіляких способів технічних прийомів складання карт (див. Географічні карти ). Наприклад, аффінниє і лінійні для дробу перетворення здійснюються за допомогою картографічних трансформаторів . Проте загальніші перетворення вимагають вживання новою, зокрема електронною, техніка. Завдання створення досконалих трансформаторів До. п. — актуальна проблема сучасної картографії.
Літ.: Вітковський Ст, Картографія. (Теорія картографічних проекцій), СП(Збори постанов) БИ. 1907; Каврайський Ст Ст, Математична картографія, М. — Л., 1934; його ж, Ізбр. праці, т. 2, ст 1—3, [М.], 1958—60; Урмаєв Н. А., Математична картографія, М., 1941; його ж, Методи дослідження нових картографічних проекцій, М., 1947; Граур А. Ст, Математична картографія, 2 видавництва, Л., 1956; Гинзбург Р. А., Картографічні проекції, М., 1951; Мещери Р. А., Теоретичні основи математичної картографії, М., 1968.
