Парадокс (від греч.(грецький) parádoxes — несподіваний, дивний), несподівана, незвична (хоч би формою) думка (вислів, пропозиція), що різко розходиться із загальноприйнятою, традиційною думкою з даного питання. У цьому сенсі епітет «парадоксальний», тобто нестандартний, такий, що відхиляється від найбільш поширеної традиції, протиставляється епітету «ортодоксальний», що розуміється як синонім слова «перевірений», тобто загальноприйнятий, буквально наступний пануючій традиції. Будь-який П. виглядає як заперечення деякої думки, що здається «безумовно правильним» (незалежно від того, наскільки вірно це враження); сам термін «П.» і виник в античній філософії для характеристики нової, незвичайної, оригінальної думки. Оскільки оригінальність вислову сприйняти набагато простіше, ніж упевнитися в його істинності або помилковості, парадоксальні вислови часто сприймають як свідоцтва незалежності, самобутності висловлюваних ними думок, особливо якщо вони до того ж мають зовні ефектну, чітку, афористичну форму.
Така репутація може бути, звичайно, і сповна заслуженою — парадоксальну форму мають, наприклад, такі філософсько-етичні узагальнення, як «Твої погляди мені ненависні, але все життя я боротимуся за твоє право відстоювати їх» (Вольтер) або «Люди жорстокі, але людина добра» (Р. Тагор). Але і незалежно від глибини і істинності конкретного вислову парадоксальність його, особливо якщо йдеться про усному вислові, привертає увагу; тому несподіванка виводів, невідповідність їх «природному» ходу думок є (поряд із загальною логічною послідовністю викладу і красою стилю) один з істотних атрибутів ораторського мистецтва.
Часто, втім, спостерігається зворотна реакція; явище (або вислів), що перечить, хоч би зовні, «здоровому глузду», характеризується як П., що свідчить в деякому розумінні про «суперечність» відповідного явища (або вислови). Такий, наприклад, відмічений вперше Д. Дідро «акторський П.»: актор може викликати у глядачів повну ілюзію змальовуваних ним відчуттів, сам при цьому нічого не переживаючи. «Зворотна сторона» цього ж П. обіграна О. Уайльдом: одна з його героїнь не може грати роль Джульєти саме тому, що закохалася сама.
Обидві ці тенденції в трактуванні П. виявляються в ефекті дотепних і несподіваних кінцівок анекдотів і, ширше, можуть лежати в основі комічного як естетичній категорії. Якщо, наприклад, вислів Т. Джефферсона «Війна — таке ж покарання для переможця, як для переможеного» сприймається сучасним читачем як сповна серйозне (і «парадоксальність» його полягає лише в тому, що воно звертає увагу людей на те, мимо чого часто спокійно проходят), то відвертими пародіями звучать зазвичай багаточисельні вислови Дж. Б. Шоу (приклад: «Не поступай з іншим так, як хочеш, щоб він поступив з тобою: у вас можуть бути різні смаки») і О. Уайльда («Не відкладай на завтра те, що можеш зробити післязавтра»). П. значною мірою лежать і в основі поетики прислів'їв («Тихіше їдеш — далі будеш» і т.п.) і ряду літературних жанрів (наприклад, відома байка «Вельможа» І. А. Крилова побудована на П.: дурень-правитель потрапляє в рай... за лінь і неробство). П., як художній прийом, широко використовуються в дитячій «поезії безглуздостей» (Л. Керролл, Е. Милі, Е. Лір, До. І. Чуковський).
Парадокси в логіці . Наукове розуміння терміну «П.», хоча і «виросло» із загальнорозмовного, не збігається з ним. І оскільки в науці «нормою» природно вважати істину, то так само природно характеризувати як П. всяке відхилення від істини, тобто брехня, протиріччя . Тому в логіці П. розуміється як синонім термінів «антиномія», «протиріччя»: так називають будь-яке міркування, що доводить як істинність деякого вислову, так і істинність його заперечення. При цьому маються на увазі іменно правильні (відповідні прийнятим логічним нормам) висновки, а не міркування, в яких зустрічаються помилки, — вольні (софізми ) або мимовільні (паралогизми ). Різним сенсам (і різним уточненням) поняття докази відповідають і різні сенси (різні рівні) і самого поняття «П.». В той же час аналіз будь-якого міркування, що має (або що претендує на) доказову силу, показує, що воно спирається на деякі (приховані або явні) допущення — специфічні для даного міркування або ж характерні для теорії в цілому (у останньому випадку їх зазвичай називають аксіомами плі постулатами ). Т. о., наявність П. свідчить про несумісність даних допущень (а якщо йдеться про теорії, побудованій за допомогою, аксіоматичного методу, то — про суперечність її системи аксіом; див.(дивися) Несуперечність ). Проте усунення якого-небудь допущення, навіть якщо воно і приводить до усунення деякого конкретного П., зовсім не гарантує ще усунення всіх П.; з іншого боку, необережна відмова від дуже багатьох (або дуже сильних) допущень може привести до того, що в результаті вийде істотно слабкіша теорія (див. Повнота ).
Скільки-небудь успішне виконання обидва цих умов (несуперечності і повноти), у свою чергу, передбачає ретельне виявлення всіх неявно прийнятих в даній науковій теорії передумов, а потім явний їх облік і формулювання. Реалізація цих завдань у свій час покладалася на аксіоматичний метод, що знайшло якнайповніше вираження в програмі обгрунтування математики і логіки, запропонованою Д. Гільбертом (див. Метаматематика ). Оскільки в першу чергу розглядалося завдання усунення П., відкритих на рубежі 19 і 20 вв.(століття) у теорії безлічі, лежачій в підставі майже всієї математики, дороги се рішення убачалися в створенні систем аксіоматичної теорії безлічі, придатних для досить повної побудови математичних теорій, і в подальшому доказі несуперечності цих систем. Наприклад, в одному з найбільш відомих П. теорії безлічі — т.з. парадоксі Б. Рассела — йде мова про безліч R всієї безлічі, що не є своїми власними елементами. Таке R є власним елементом тоді і лише тоді, коли воно не є власним елементом. Тому допущення про те, що R є власним елементом, приводить до заперечення цього допущення, з чого виходить (причому навіть по правилах інтуїционістськой логіки, тобто без використання виключеного третього принципу ), що R не є власним елементом. Але звідси вже витікає (через попередню фразу), що R є власним елементом, тобто обидва що перечать один одному допущення виявилися доведеними, а це і є П.
В системах аксіоматичної теорії безлічі Е. Цермело і Цермело — Френкель питання про безліч R (чи є воно власним елементом) просто знімається, т.к. аксиоми цих систем не дозволяють розглядати таке R (воно в цих системах не існує). У інших системах (належних Дж. фон Нейману, П. Бернайсу, До. Геделю ) такі R розглядати можна, але ця сукупність безлічі оголошується (за допомогою відповідних обмежувальних аксіом) не безліччю, а лише «класом», тобто заздалегідь оголошується, що R не може бути нічиїм (в т.ч. і своїм власним) елементом, ніж знову-таки анулюється расселовський питання. Нарешті, в різних модифікаціях типів теорії, що йдуть від А. Н. Уайтхеда (Великобританія) і самого Б. Рассела (наприклад, в системах В. О. Куайпа, США), дозволяється розглядати будь-яку безліч, описану осмисленими мовними виразами, і ставити відносно такої безлічі будь-які питання, та зате самі вирази начеб «безліч всієї безлічі, що не є своїми власними елементами «оголошуються безглуздим і зважаючи на порушення деяких угод лінгвістичного (синтаксичного) характеру. Аналогічним чином в згаданих теоріях усуваються і ін. відомі теоретико-множинні П. (наприклад, парадокс Р. Кантора про потужність безлічі всіх підмножин «безлічі всієї безлічі», яка неминуче повинна була б виявитися більше самої себе, і пр.).
Проте жодна з систем аксіоматичної теорії безлічі не вирішує повною мірою проблему усунення П. оскільки гильбертовськая програма обгрунтування математики виявилася нездійсненною: через теорему К. Геделя (1931) несуперечність досить багатих аксіоматичних теорій (включаючи формальну арифметику натуральних чисел і тим більше аксіоматичну теорію безлічі), якщо і має місце, не може бути доведена за допомогою одних лише методів, прийнятних з точки зору традиційної гильбертовськой теорії доказів. В рамках класичної математики і логіки це обмеження долається залученням сильніших (у відомому сенсі конструктивних, але вже не «фінітних» в гильбертовськом розумінні) засобів математичних міркувань, за допомогою яких удалося отримати докази несуперечності формалізованої арифметики (П. С. Новіков, німецькі математики Р. Генцен, Ст Аккерман, К. Шютте і ін.). Інтуїционістськая і конструктивна школи (див. Конструктивний напрям в математиці) взагалі не вважають потрібними розглядати проблему П.: використовувані ними «ефективні» способи побудови математичних теорій приводять по суті до абсолютно нових наукових систем, з яких із самого початку вигнані «метафізичні» методи міркувань і утворення понять, повинні в появі П. в класичних теоріях. Нарешті, в рамках ультраїнтуїционістськой програми обгрунтування математики вирішення проблеми П. досягається за рахунок того, що рішучого передивляється самого поняття математичного доказу, що дозволило, зокрема, отримати докази несуперечності (у ультраїнтуїционістських термінах: «недосяжності протиріччя») деяких систем аксіоматичної теорії безлічі.
що Обговорювалися до цих пір П. часто іменують «логічними», оскільки вони можуть бути переформуліровани в чисто логічних термінах. Наприклад, парадокс Рассела виглядає тоді таким чином. Назвемо властивості, що не відносяться до самих собі («синіше», «дурне» і т.п.), «імпредікабельнимі», на відміну від «предикабельних» властивостей, що відносяться до себе (наприклад, «абстрактне»). Властивість «імпредікабельноє» імпредікабельно в тому і лише у тому випадку, коли воно предикабельний. Втім, деякі логіки (наприклад, радянський учений Д. А. Бочвар) зараховують до «власне логіці» («чистій логіці») лише вузьке числення предикатів (мабуть, з рівністю), вільне від П. (див. Логіка предикатів, Логіка ). П. же, з точки зору Бочвара, виникають вже в самій теорії безлічі (до якої відноситься і розширене числення предикатів) із-за необмеженого вживання так званого принципу згортання (або принципу абстракції), безлічі, що дозволяє вводити в розгляд об'єктів, що задаються за допомогою довільних властивостей цих об'єктів (див. Визначення через абстракцію ). Усунення П. досягається тут за допомогою багатозначної логіки : парадоксальним твердженням (типа расселовського, наприклад) приписується третє (поряд з істиною і брехнею), істиннісне значення: «безглуздя».
Інший важливий клас П., що також виникають при розгляді деяких понять теорії безлічі і багатоступінчастої логіки, пов'язаний з поняттями позначення, іменування, осмислення істини (брехні) і т.п.: це так звані семантичні П. До них відносяться, наприклад, парадокс Рішара — Беррі (у одному з формулювань якого йдеться про фразі «найменше натуральне число, яке не можна назвати за допомогою менше чим тридцяти трьох складів», що визначає — по крайньому заходу згідно із звичайними уявленнями про «визначність» — деяке натуральне число за допомогою тридцяти двох складів), найбільш древній з відомих П.— так званий «брехун», або крітянин» (породжуваний фразою «всі крітяни — брехуни», приписуваною філософові Криту Епіменіду, або ж просто фразою «я брешу»), що «бреше, а також парадокс Греллінга: назвемо прикметники, що володіють званою ними властивістю (наприклад, «російське» або «багатоскладове»), негетерологичеськимі, а прикметники, що не володіють відповідною властивістю («англійське», «односкладове», «жовте», «холодне» і т.п.), — гетерологичеськимі; тоді прикметник «гетерологичеськоє» виявляється гетерологичеським в тому і лише у тому випадку, коли воно негетерологично. Оскільки семантичні П. формулюються не стільки в логіко-математичних, скільки в лінгвістичних термінах, їх дозвіл не вважали істотним для підстав логіки і математики; проте між ними і логічними П. є тісний зв'язок: останні відносяться до понять, а перші — до їх імен (порівняєте парадокси Рассела і Греллінга).
Термін «П.» уживається в логіці і математиці також в ширшому, ближчому до розмовного сенсі, коли йдеться не про справжнє протиріччя, а лише невідповідності деяких формальних експлікаций (уточнень) з їх інтуїтивними прототипами. Наприклад, так звані П. матеріальної імплікації «з брехні виходить все, що завгодно» і «істина виходить з будь-якої думки», доказові в класичній логіці висловів, виявляють невідповідність між розмовним іформально-логічнімі поніманіямі стосунки дотримання; «парадокс Ськулема» в аксіоматичній теорії безлічі, згідно з яким поняття численної безлічі може бути виражене засобами рахункової моделі, показує відносний характер понять счетності і численності; аналогічний характер носять П., що зустрічаються в модальній логіці (невідповідність модальностей «можливо» і «необхідно» з їх формально-аксіоматичними описами), в етиці і ін. Необхідно відзначити, що висловлене вище зіставлення П., як міркувань формально «правильних», і софізмів, заснованих на свідомо помилкових міркуваннях, значною мірою умовно; багато міркувань, традиційно що кваліфікуються як софізми і «псевдопарадокси», виявляються вельми важливими в світлі нових логічних і методологічних напрямів. Наприклад, відомий в давнину «П. купи» (одне зерно немає купа; збільшення одного зерна не створює купу; мільйон зерен — це купа; у ін. формулюваннях — «П. лисого» і т.п.) «вирішувався» до недавнього часу простою засланням на недостатню визначеність поняття «купа», що фігурує в нім. Свідома ж відмова від такого роду прямолінійних «рішень» і з'ясування можливостей точного використання таких понять (типа «багато» і т.п. з'являються одній з найважливіших вихідних ідей згадуваного вище за ультраїнтуїционістського напрям. До поняття «П.» близькі також поняття антиномія і апорія .
П., тобто виводи з, здавалося б, вірних (в усякому разі загальноприйнятих) вихідних принципів, що перечать досвіду (і, мабуть, інтуїції і здоровому глузду), зустрічаються не лише в чисто дедуктивних науках, але і, наприклад, у фізиці (так, «парадоксальними», тобто що перечать багатовіковій науковій традиції, виводами рясніють теорія відносності, квантова механіка). Аналіз багато таких П. (наприклад, фотометричного і гравітаційного П. у фізиці і космогонії; див.(дивися) Космологічні парадокси ) так само, як в логіці і математиці, зіграв важливу роль для відповідних наукових дисциплін. У ширшому сенсі сказане можна віднести взагалі до будь-яких уточнень наукових теорій, обумовлених тим, що нові експериментальні дані вступають в протиріччя з принципами, що раніше здавалися надійно перевіреними; такі уточнення є невід'ємною частиною загального процесу розвитку науки.
Літ.: Френкель А. і Бар-Хиллел І., Підстави теорії безлічі, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966, гл.(глав) 1 (є детальна літ.(літературний)); Fraenkel A. A., Bar-hillel J., Levy A., Foundations of set theory, 2 ed., Amst., 1973.
