Парадокс (от греч.(греческий) parádoxes — неожиданный, странный), неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по данному вопросу. В этом смысле эпитет «парадоксальный», т. е. нестандартный, отклоняющийся от наиболее распространённой традиции, противопоставляется эпитету «ортодоксальный», понимаемому как синоним слова «проверенный», т. е. общепринятый, буквально следующий господствующей традиции. Любой П. выглядит как отрицание некоторого мнения, кажущегося «безусловно правильным» (вне зависимости от того, насколько верно это впечатление); сам термин «П.» и возник в античной философии для характеристики нового, необычного, оригинального мнения. Поскольку оригинальность высказывания воспринять гораздо проще, чем удостовериться в его истинности или ложности, парадоксальные высказывания часто воспринимают как свидетельства независимости, самобытности выражаемых ими мнений, особенно если они к тому же имеют внешне эффектную, чёткую, афористичную форму.
Такая репутация может быть, конечно, и вполне заслуженной — парадоксальную форму имеют, например, такие философско-этические обобщения, как «Твои взгляды мне ненавистны, но всю жизнь я буду бороться за твоё право отстаивать их» (Вольтер) или «Люди жестоки, но человек добр» (Р. Тагор). Но и независимо от глубины и истинности конкретного высказывания парадоксальность его, особенно если речь идёт об устном высказывании, привлекает внимание; поэтому неожиданность выводов, несоответствие их «естественному» ходу мыслей есть (наряду с общей логической последовательностью изложения и красотами стиля) один из существенных атрибутов ораторского искусства.
Часто, впрочем, наблюдается обратная реакция; явление (или высказывание), противоречащее, хотя бы внешне, «здравому смыслу», характеризуется как П., свидетельствующий в некотором смысле о «противоречивости» соответствующего явления (или высказывания). Таков, например, отмеченный впервые Д. Дидро «актёрский П.»: актёр может вызывать у зрителей полную иллюзию изображаемых им чувств, сам при этом ничего не переживая. «Обратная сторона» этого же П. обыграна О. Уайльдом: одна из его героинь не может играть роль Джульетты именно потому, что влюбилась сама.
Обе эти тенденции в трактовке П. проявляются в эффекте остроумных и неожиданных концовок анекдотов и, более широко, могут лежать в основе комического как эстетической категории. Если, например, высказывание Т. Джефферсона «Война — такое же наказание для победителя, как для побежденного» воспринимается современным читателем как вполне серьёзное (и «парадоксальность» его состоит лишь в том, что оно обращает внимание людей на то, мимо чего часто спокойно проходят), то откровенными пародиями звучат обычно многочисленные высказывания Дж. Б. Шоу (пример: «Не поступай с другим так, как хочешь, чтобы он поступил с тобой: у вас могут быть разные вкусы») и О. Уайльда («Не откладывай на завтра то, что можешь сделать послезавтра»). П. в значительной мере лежат и в основе поэтики пословиц («Тише едешь — дальше будешь» и т.п.) и ряда литературных жанров (например, известная басня «Вельможа» И. А. Крылова построена на П.: дурак-правитель попадает в рай... за лень и безделье). П., как художественный приём, широко используются в детской «поэзии нелепостей» (Л. Кэрролл, Э. Мили, Э. Лир, К. И. Чуковский).
Парадоксы в логике. Научное понимание термина «П.», хотя и «выросло» из общеразговорного, не совпадает с ним. И поскольку в науке «нормой» естественно считать истину, то так же естественно характеризовать в качестве П. всякое отклонение от истины, т. е. ложь, противоречие. Поэтому в логике П. понимается как синоним терминов «антиномия», «противоречие»: так называют любое рассуждение, доказывающее как истинность некоторого высказывания, так и истинность его отрицания. При этом имеются в виду именно правильные (соответствующие принятым логическим нормам) умозаключения, а не рассуждения, в которых встречаются ошибки — вольные (софизмы) или невольные (паралогизмы). Различным смыслам (и различным уточнениям) понятия доказательства соответствуют и различные смыслы (различные уровни) и самого понятия «П.». В то же время анализ любого рассуждения, имеющего (или претендующего на) доказательную силу, показывает, что оно опирается на некоторые (скрытые или явные) допущения — специфические для данного рассуждения или же характерные для теории в целом (в последнем случае их обычно называют аксиомами пли постулатами). Т. о., наличие П. свидетельствует о несовместимости данных допущений (а если речь идёт о теории, построенной посредством, аксиоматического метода, то — о противоречивости её системы аксиом; см.(смотри) Непротиворечивость). Однако устранение какого-либо допущения, даже если оно и приводит к устранению некоторого конкретного П., вовсе не гарантирует ещё устранения всех П.; с другой стороны, неосторожный отказ от слишком многих (или слишком сильных) допущений может привести к тому, что в результате получится существенно более слабая теория (см. Полнота).
Сколько-нибудь успешное выполнение обоих этих условий (непротиворечивости и полноты), в свою очередь, предполагает тщательное выявление всех неявно принятых в рассматриваемой научной теории предпосылок, а затем явный их учёт и формулировку. Реализация этих задач одно время возлагалась на аксиоматический метод, что нашло наиболее полное выражение в программе обоснования математики и логики, предложенной Д. Гильбертом (см. Метаматематика). Поскольку в первую очередь рассматривалась задача устранения П., открытых на рубеже 19 и 20 вв.(века) в теории множеств, лежащей в основании почти всей математики, пути сё решения усматривались в создании систем аксиоматической теории множеств, пригодных для достаточно полного построения математических теорий, и в последующем доказательстве непротиворечивости этих систем. Например, в одном из наиболее известных П. теории множеств — т. н. парадоксе Б. Рассела — идёт речь о множестве R всех множеств, не являющихся своими собственными элементами. Такое R является собственным элементом тогда и только тогда, когда оно не является собственным элементом. Поэтому допущение о том, что R является собственным элементом, приводит к отрицанию этого допущения, из чего следует (причём даже по правилам интуиционистской логики, т. е. без использования исключенного третьего принципа), что R не является собственным элементом. Но отсюда уже следует (в силу предыдущей фразы), что R является собственным элементом, т. е. оба противоречащих друг другу допущения оказались доказанными, а это и есть П.
В системах аксиоматической теории множеств Э. Цермело и Цермело — Френкеля вопрос о множестве R (является ли оно собственным элементом) попросту снимается, т.к. аксиомы этих систем не позволяют рассматривать такое R (оно в этих системах не существует). В других системах (принадлежащих Дж. фон Нейману, П. Бернайсу, К. Гёделю) такие R рассматривать можно, но эта совокупность множеств объявляется (при помощи соответствующих ограничительных аксиом) не множеством, а только «классом», т. е. заранее объявляется, что R не может являться ничьим (в т. ч. и своим собственным) элементом, чем опять-таки аннулируется расселовский вопрос. Наконец, в различных модификациях типов теории, идущих от А. Н. Уайтхеда (Великобритания) и самого Б. Рассела (например, в системах У. О. Куайпа, США), разрешается рассматривать любые множества, описанные осмысленными языковыми выражениями, и ставить относительно таких множеств любые вопросы, но зато сами выражения вроде «множество всех множеств, не являющихся своими собственными элементами «объявляются бессмысленным и ввиду нарушения некоторых соглашений лингвистического (синтаксического) характера. Аналогичным образом в упомянутых теориях устраняются и др. известные теоретико-множественные П. (например, парадокс Г. Кантора о мощности множества всех подмножеств «множества всех множеств», которая неминуемо должна была бы оказаться больше самой себя, и пр.).
Однако ни одна из систем аксиоматической теории множеств не решает в полной мере проблему устранения П., поскольку гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой: в силу теоремы К. Гёделя (1931) непротиворечивость достаточно богатых аксиоматических теорий (включая формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств), если и имеет место, не может быть доказана с помощью одних лишь методов, приемлемых с точки зрения традиционной гильбертовской теории доказательств. В рамках классической математики и логики это ограничение преодолевается привлечением более сильных (в известном смысле конструктивных, но уже не «финитных» в гильбертовском понимании) средств математических рассуждений, с помощью которых удалось получить доказательства непротиворечивости формализованной арифметики (П. С. Новиков, немецкие математики Г. Генцен, В. Аккерман, К. Шютте и др.). Интуиционистская и конструктивная школы (см. Конструктивное направление в математике) вообще не считают нужным рассматривать проблему П.: используемые ими «эффективные» способы построения математических теорий приводят по существу к совершенно новым научным системам, из которых с самого начала изгнаны «метафизические» методы рассуждений и образования понятий, повинные в появлении П. в классических теориях. Наконец, в рамках ультраинтуиционистской программы обоснования математики решение проблемы П. достигается за счёт решительного пересмотра самого понятия математического доказательства, что позволило, в частности, получить доказательства непротиворечивости (в ультраинтуиционистских терминах: «недостижимости противоречия») некоторых систем аксиоматической теории множеств.
Обсуждавшиеся до сих пор П. часто именуют «логическими», поскольку они могут быть переформулированы в чисто логических терминах. Например, парадокс Рассела выглядит тогда следующим образом. Назовем свойства, не относящиеся к самим себе («синее», «глупое» и т.п.), «импредикабельными», в отличие от «предикабельных» свойств, относящихся к себе (например, «абстрактное»). Свойство «импредикабельное» импредикабельно в том и только в том случае, когда оно предикабельно. Впрочем, некоторые логики (например, советский учёный Д. А. Бочвар) причисляют к «собственно логике» («чистой логике») только узкое исчисление предикатов (быть может, с равенством), свободное от П. (см. Логика предикатов, Логика). П. же, с точки зрения Бочвара, возникают уже в самой теории множеств (к которой относится и расширенное исчисление предикатов) из-за неограниченного применения так называемого принципа свёртывания (или принципа абстракции), позволяющего вводить в рассмотрение множества объектов, задаваемые с помощью произвольных свойств этих объектов (см. Определение через абстракцию). Устранение П. достигается здесь при помощи многозначной логики: парадоксальным утверждениям (типа расселовского, например) приписывается третье (наряду с истиной и ложью), истинностное значение: «бессмысленность».
Другой важный класс П., также возникающих при рассмотрении некоторых понятий теории множеств и многоступенчатой логики, связан с понятиями обозначения, именования, осмысления истины (лжи) и т.п.: это так называемые семантические П. К ним относятся, например, парадокс Ришара — Берри (в одной из формулировок которого речь идёт о фразе «наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трёх слогов», определяющей — по крайней мере согласно обычным представлениям об «определимости» — некоторое натуральное число при помощи тридцати двух слогов), наиболее древний из известных П.— так называемый «лжец», или «лгущий критянин» (порождаемый фразой «все критяне — лжецы», приписываемой критскому философу Эпимениду, или же просто фразой «я лгу»), а также парадокс Греллинга: назовем прилагательные, обладающие называемым ими свойством (например, «русское» или «многосложное»), негетерологическими, а прилагательные, не обладающие соответствующим свойством («английское», «односложное», «жёлтое», «холодное» и т.п.),— гетерологическими; тогда прилагательное «гетерологическое» оказывается гетерологическим в том и только в том случае, когда оно негетерологично. Поскольку семантические П. формулируются не столько в логико-математических, сколько в лингвистических терминах, их разрешение не считали существенным для оснований логики и математики; однако между ними и логическими П. имеется тесная связь: последние относятся к понятиям, а первые — к их именам (сравните парадоксы Рассела и Греллинга).
Термин «П.» употребляется в логике и математике также в более широком, близком к разговорному смысле, когда речь идёт не о подлинном противоречии, а лишь несоответствии некоторых формальных экспликаций (уточнений) с их интуитивными прототипами. Например, так называемые П. материальной импликации «из лжи следует все, что угодно» и «истина следует из любого суждения», доказуемые в классической логике высказываний, обнаруживают несоответствие между разговорным иформально-логическими пониманиями отношения следования; «парадокс Скулема» в аксиоматической теории множеств, согласно которому понятие несчётного множества может быть выражено средствами счётной модели, показывает относительный характер понятий счётности и несчётности; аналогичный характер носят П., встречающиеся в модальной логике (несоответствие модальностей «возможно» и «необходимо» с их формально-аксиоматическими описаниями), в этике и др. Необходимо отметить, что высказанное выше противопоставление П., как рассуждений формально «правильных», и софизмов, основанных на заведомо ошибочных рассуждениях, в значительной мере условно; многие рассуждения, традиционно квалифицируемые как софизмы и «псевдопарадоксы», оказываются весьма важными в свете новых логических и методологических направлений. Например, известный в древности «П. кучи» (одно зерно не есть куча; прибавление одного зерна не создаёт кучу; миллион зёрен — это куча; в др. формулировках — «П. лысого» и т.п.) «разрешался» до недавнего времени простой ссылкой на недостаточную определённость фигурирующего в нём понятия «куча». Сознательный же отказ от такого рода прямолинейных «решений» и выяснение возможностей точного использования таких понятий (типа «много» и т.п. появляются одной из важнейших исходных идей упоминавшегося выше ультраинтуиционистского направления. К понятию «П.» близки также понятия антиномия и апория.
П., то есть выводы из, казалось бы, верных (во всяком случае общепринятых) исходных принципов, противоречащие опыту (и, быть может, интуиции и здравому смыслу), встречаются не только в чисто дедуктивных науках, но и, например, в физике (так, «парадоксальными», то есть противоречащими многовековой научной традиции, выводами изобилуют теория относительности, квантовая механика). Анализ многих таких П. (например, фотометрического и гравитационного П. в физике и космогонии; см.(смотри) Космологические парадоксы) так же, как в логике и математике, сыграл важную роль для соответствующих научных дисциплин. В более широком смысле сказанное можно отнести вообще к любым уточнениям научных теорий, обусловленным тем, что новые экспериментальные данные вступают в противоречие с принципами, ранее казавшимися надёжно проверенными; такие уточнения являются неотъемлемой частью общего процесса развития науки.
Лит.: Френкель А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1966, гл.(глав) 1 (имеется подробная лит.(литературный)); Fraenkel A. A., Bar-Hillel J., Levy A., Foundations of set theory, 2 ed., Amst., 1973.
