Типів теорія в логіці, система розширеного числення предикатів або аксіоматичній теорії безлічі, що включає змінні різних «типів» (сортів, рівнів, порядків). Формальні об'єкти цієї теорії, згідно з системою Рассела — Уайтхеда, розділяються на типів: предмети (індивіди) предикати, предикати від предикатів і т. д. [об'єкти n -го типа — це предикати від об'єктів ( n– 1) -го і, мабуть, менших типів]. При «подвійному» формулюванні Т. т. як аксіоматичній теорії безлічі об'єкти n- го типа суть безлічі об'єктів ( n— 1) -го (і, мабуть, менших) типа. Відповідно, принцип згортання (абстракції принцип ) , необмежене користування яким в розширеному численні предикатів і в теорії безлічі приводить до парадоксам, звучить тепер декілька по-іншому: «для всякої предикативної формули з вільною змінною х, що не містить об'єктів вище ( n— 1) за -го типа, існує предикат n- го типа, достеменний для тих і лише тих значень х, для яких достеменна дана формула», або «для будь-якого властивості, у формулюванні якого використовується безліч не вище ( n— 1) -го типа, існує безліч n -го типа, що складається з тих і лише тих предметів, які володіють цією властивістю». У обох формулюваннях виділені слова, додавання яких відрізняє теоретіко-тіпову форму аксіоми згортання від звичайної і які перешкоджають виникненню в Т. т. парадоксів, що виникають в «наївній» теорії безлічі, у тому числі парадоксу Рассела про «безліч всіх безлічі, що не містить себе як елементу».
Проте математика, побудована на базі Т. т., виявляється, як показує уважний аналіз, істотно біднішою, ніж звичайна класична математика. Тому Рассел ввів в свою систему так звану аксіому сводімості, що постулювала, грубо кажучи, для кожної безлічі (предиката) n- го типа існування еквівалентної йому безлічі 1-го типа. Але вже для цієї аксіоми ні на яке «чисто логічне» обгрунтування математики, як показав сам Рассел, розраховувати не доводилося (через що програма логіцизму виведення всієї математики з «чистої» логіки виявлялася нездійсненною).
Літ .: Гільберт Д., Аккерман Ст, Основи теоретичної логіки, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1947, гл.(глав) 4 і прілож. 1; Ван Хао, Мак -Нотон P., Аксіоматичні системи теорії безлічі, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1963, гл.(глав) 1—2, 5—6; Френкель А., Бар-Хиллел І., Підстави теорії безлічі, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966, гл.(глав) 1, 3 (літ.); Andrews Р. Ст, A transfinite type theory with type variables, Amst., 1965.
