Логіцизм
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Логіцизм

Логіцизм , напрям в підставах математики і філософії математики, основною тезою якого є твердження про «сводімості математики до логіки», тобто можливості (і необхідності) визначення всіх вихідних математичних понять (в рамках самої математики не визначуваних) в термінах «чистої» логіки і доказу всіх математичних пропозицій (у тому числі аксіом) знову-таки логічними засобами. Ідеї Л. були висунуті ще Р. Ст Лейбніцом, але в розгорнутому вигляді ця доктрина вперше була сформульована Р. Фреге, що запропонував зведення основного математичного поняття — поняття натурального числа — до об'ємів понять і що детально розробив логічну систему, засобами якої удавалося довести всі теореми арифметики. Оскільки на той час в математиці була практично завершена робота за відомістю (у тому ж сенсі, що і вище) основних понять математичного аналізу, геометрія і алгебра до арифметики (за допомогою часткового зведення їх один до одного і вирази їх понять в термінах безлічі теорії ) , те, як вважав Фреге, логицистічеськая програма була тим самим в основному виконана.

загрузка...

  Але ще до виходу в світ 2-го томи роботи Фреге «Основні закони арифметики» (1893—1903) Би. Рассел виявив в системі Фреге протиріччя (зване зазвичай парадоксом Рассела, див.(дивися) Парадокс ) . Сам Рассел, проте, розділяв основні тези програми Л.; він зробив спробу «виправлення» системи Фреге і «порятунки» її від протиріч. Рішення цієї задачі зажадало великої роботи по послідовній і детальній формалізації не лише математики, але і логіки, що кладеться в її підставу (згідно з програмою Л.). Підсумком цієї роботи з'явився написаний Расселом (спільно з А. Н. Уайтхедом ) тритомна праця «Principia Mathematica» (1910—13). Головною новиною системи Рассела — Уайтхеда (нижче РМ) з'явилося побудова логіки у вигляді «ступінчастого числення», або «теорії типів». Формальні об'єкти цієї теорії розділялися на т.з. типи (рівні), і ця «ієрархія типів» (а в ін. модифікаціях системи РМ — ще додаткова «ієрархія рівнів») дозволила позбавитися від всіх відомих парадоксів. Проте для побудови класичної математики засобами РМ до цієї системи довелося приєднати деякі аксіоми (див. Типів теорія ), змістовно характеризуючі важливі властивості даного конкретного «світу математики» (і, звичайно, відповідного йому світу реальних речей), а що зовсім не є «аналітичними істинами», або, по Лейбніцу, істинами, вірними «у всіх можливих світах». Отже, не вся расселовськая математика виводиться з логіки. Але більш того, ця математика і немає вся математика: як показав До. Гедель (1931), системи типа РМ (і все, не поступливі їм по силі) істотно неповні — їх засобами завжди можна сформулювати змістовно дійсні, але не вирішувані (не доказові і не спростовні) математичні затвердження (див. Аксіоматичний метод, Метаматематика ) .

  Т. о., програма Л. «чисто логічного» обгрунтування математики виявилася нездійсненною. Проте і результати Рассела, і роботи ін. учених, що запропонували пізніше різні удосконалення системи РМ (наприклад, роботи американського математика В. ван О. Куайна), зробили величезний позитивний вплив на розвиток математичної логіки і науки в цілому, сприяючи формуванню і уточненню ряду найважливіших логіко-математичних і загальнометодологічних ідей і побудові відповідного точного математичного апарату.

 

  Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957, гл.(глав) 3; Френкель А., Бар-Хиллел І., Підстави теорії безлічі, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966, гл.(глав) 3.

  Ю. А. Гастев.