Логічні операції

Логічні операції , логічні в'язки, логічні оператори, функції, що перетворюють вислови або пропозіциональниє форми (тобто вирази логіки предикатів, що містять змінні і що звертаються у вислови при заміні останніх якими-небудь конкретними їх значеннями) у вислови або пропозіциональниє форми. Л. о. можна розділити на дві основні групи: квантори і пропозіциональниє (сентенциональниє) в'язки. Квантори грають для формалізованих мов математичної логіки ту ж роль, яку грають для природної мови т.з. «кількісні» («квантори») слова: «все», «будь-який», «деякий», «існує», «єдиний», «не більше ніж», кількісні числівники і тому подібне Характерною особливістю кванторів є — в разі нефіктивного їх вживання — пониження числа вільних змінних в перетворюваному вираженні: застосування квантора до вираження, n вільних змінних, що містить, приводить, взагалі кажучи, до вираження, n, що містить, — 1 вільну змінну, зокрема, пропозіциональную форму з однією вільною змінною вживання квантора (по цій змінній) перетворить у вислів.

  Пропозіциональниє в'язки (на відміну від кванторів, введення яких знаменує перехід до логіки предикатів) уживаються вже в самій елементарній частині логіки — в логіці висловів . У формалізованих логічних і логіко-математичних мовах вони виконують функції, сповна аналогічні функціям союзів і союзних слів, що вживаються для утворення складних пропозицій в природних мовах. Так, заперечення ù тлумачиться як частка «не», кон'юнкція & тлумачиться як союз «і», диз'юнкція  — як (нерозділове) «або», імплікація É — як зворот «якщо..., то...», еквіваленция ~ — як зворот «тоді і лише тоді, коли» і тому подібне При цьому, проте, відповідність між Л. о. і засобами природної мови зовсім не взаємно однозначно. По-перше, тому, що вислови, за визначенням, можуть набувати лише два «істиннісні значення»: «істину» («і») і «брехню» («л»), так що пропозіциональниє Л. о. можна розглядати як різні функції, що відображують деяку область з двох елементів в себе; тому число різних n-місцевіх (тобто від n аргументів) Л. о. визначається з чисто комбінаторних міркувань — воно рівне 2 ⁿ . По-друге, у формалізованих мовах математичної логіки ігноруються будь-які смислові (і тим більше стилістичні) відтінки значень союзів, окрім тих, що безпосередньо визначають істиннісне значення складної пропозиції, що виходить. У свою чергу, як Л. о. розглядаються часом і такі в'язки, змістовні аналоги яких в звичайній мові, як правило, не мають спеціальних найменувань; такий, наприклад, «штрих Шеффера» ½ у нижченаведеній таблиці, де приведений повний перелік всіх  двомісних пропозіциональних Л. о. (по-перше двох стовпцях поміщені істиннісні значення деяких «вихідних» висловів р і q, в останніх — значення висловів утворюваних з них за допомогою вказаних зверху Л. о.).

  Оскільки в таблиці зведені всі мислимі двомісні Л. о., відповідні всіляким «чотирьохбуквеним словам» з «і» і «л», записаним по вертикалі в її стовпцях, то природно, що серед цих 17 Л. о. є і «вироджені» випадки: перші дві «в'язки» взагалі не залежать ні від яких «аргументів» — це константи «і» і «л» (зрозуміло, що таких «нульместних» в'язок є рівно ), далі йдуть  «одномісних в'язок» (кожна з яких залежить лише від одного з аргументів р або q) і тільки тоді вже 16—2—4 = 10 власне двомісних Л. о. Можна далі розглядати  тримісних Л. о. і т. д.; виявляється, проте, що вже невеликій частині приведених Л. о. достатнє для того, щоб за допомогою їх суперпозицій (тобто послідовного вживання) виразити будь-які n-місцеві Л. о. для будь-якого натурального n. Такими функціонально повними наборами в'язок є, наприклад ù і &, ù і ù і É і навіть одна-єдина в'язка ½. Оскільки логіка висловів може бути ізоморфно (див. Ізоморфізм ) інтерпретована в термінах логіки класів, для кожної Л. о. є аналогічна теоретико-множинна операція; сукупність таких операцій над безліччю (класами) утворює т.з. алгебру безлічі. Див. Алгебра логіки .

  Літ.: Черч А., Введення в математичну логіку, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1, М., 1960 §§ 05, 06 і 15.

  Ю. А. Гастев.