Логіка предикатів
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Логіка предикатів

Логіка предикатів , розділ математичною логіки, що вивчає логічні закони, загальні для будь-якої області об'єктів дослідження (що містить хоч один об'єкт) із заданими на цих об'єктах предикатами (тобто властивостями і стосунками). В результаті формалізації Л. п. приймає вигляд різних числень . Простими логічними численнями є числення висловів. У складніших численнях предикатів описуються логічні закони, що зв'язують об'єкти дослідження із стосунками між цими об'єктами.

загрузка...

  В класичному численні предикатів уживаються наступні знаки: 1) т.з. наочні змінні — букви х, в, z ..., які змістовно розглядаються як невизначені імена об'єктів дослідження теорії; 2) предикативні змінні — знакові комплекси вигляду P m , Q n , R l ... ( m, n, l — натуральні числа), причому, наприклад, Q n означає довільне n-місцеве відношення між об'єктами; 3) знаки для логічних в'язок: кон'юнкції &, диз'юнкції, імплікації É, заперечення ù, що означають відповідно «... і...» «... або...», «якщо..., то...», «невірно, що...»; 4) знаки для кванторів " (квантор загальності), 3 (квантор існування), що означають відповідно «для всіх...» і «існує... таке, що...»; 5) кома, дужки (для уточнення будови формул).

  Еслі Q n є n-місцева предикативна змінна, а x 1 ..., x n — наочні змінні, те вираження Q n ( x 1 ..., x n ) є, за визначенням, атомарна (елементарна) формула. Індекс n в предикативної змінної в атомарній формулі зазвичай опускається. Змістовно Q (x 1 ..., x n ) означає вислів, що свідчить, що об'єкти x 1 ..., x n зв'язані відношенням Q. Формулами вважаються атомарні формули, а також вирази, що отримуються з них за допомогою наступних операцій освіти нових формул з вже отриманих: 1) якщо j і  — формули, то (j&), (j), (jé) і ùj — також формули; 2) якщо j — формула і х — наочна змінна, то " xj $xj — формули. Визначенням формули закінчується опис мови числення предикатів.

  Входження наочної змінної х у формулу j називається зв'язаним, якщо х входить в частину j вигляду $xj або " xj або стоїть безпосередньо після знаку квантора. Незв'язані входження змінної у формулу називаються вільними. Якщо знайдеться хоч одне вільне входження х в j, то говорять, що змінна х входить вільно в j або є параметром j. Інтуїтивно кажучи, формула j з параметрами виражає деяку умову, яка перетворюється на конкретний вислів, якщо (конкретизувавши заздалегідь область об'єктів) приписати певні значення вхідним у формулу параметрам і предикативним буквам. Зв'язані ж змінні не мають самостійного значення і служать (разом з відповідними кванторами) для позначення загальних тверджень або затверджень існування. Якщо j — формула, а х і в — наочні змінні, то через j( х ½ в ) позначатиметься результат заміщення всіх вільних входжень x в j на в (а якщо при цьому в виявилося на місці х в частині формули вигляду " в або $ в , то слід додатково замінити всі зв'язані входження в в цю частину на змінну, що не входить в j; це робиться для того, щоб не допустити спотворення сенсу j при заміні х на в ).

  Хай j,, h — довільні формули, а х і в — наочні змінні. Тоді формули наступних видів приймаються як аксіоми класичного числення предикатів:

  1. (jé(Éh)),

  2. ((jé(Éh))É((jé)É(jéh))),

  3. ((j&)Éj),

  4. ((j&)É),

  5. (jé(É(j&))),

  6. ((jéh)É((Éh)É((j)Éh))),

  7. (jé(j)),

  8. (É(j)),

  9. (ùjÉ)(jé)),

  10. ((jé)É((jéù)Éùj))

  11. (jùj),

  12. ( " xjéj(x/y)),

  13. (j(x/y)É $ xj).

  В численні предикатів уживаються слід.(наступний) три правила виводу. 1) Правило виведення висновків: з формул j і (jé) виводиться формула . Два кванторах правила виводу: 2) з формули (jé), де  не містить вільно х , можна вивести (jé " x); 3) з формули (jé), де  не містить вільно х , можна вивести ( $ xjé).

  На відміну від інших формулювань числення (див., наприклад, Логіка, розділ Предмет і метод сучасної логіки), тут j,  і h не належать мові даного числення, а позначають його довільні формули; тому кожен із записів 1—13 є аксиомная схема, що «породжує» при підстановці замість грецької букви деяку конкретну аксіому; спеціальних правил підстановки при цьому формулюванні не треба.

  Інтуїционістськоє числення предикатів відрізняється від класичного лише тим, що закон виключеного третього (аксіома 11) виключається з числа аксіом. Відмінність двох числень відображає відмінність в їх тлумаченнях. Тлумачення логічних в'язок &,, É, ù у численнях предикатів таке ж, як і у відповідних численнях висловів. Що стосується тлумачення кванторів, то в класичному численні предикатів квантори трактуються з точки зору актуальної нескінченності. Точніше, кожна формула набуває значення «істина» або «брехню», якщо визначити модель числення предикатів, тобто визначити безліч об'єктів, приписати кожній предикативній букві формули деяке відношення на цій безлічі і приписати всім параметрам формули деякі об'єкти як значення. Формула називається класично загальнозначущою, якщо вона в будь-якій моделі набуває значення «істина». Як показав До. Гедель, в класичному численні предикатів виводяться всі класично загальнозначущі формули, і лише вони. Ця теорема Геделя і є точним вираженням ідеї формалізації логіки: у класичному численні предикатів виводяться всі логічні закони, загальні для всіх моделей.

  В інтуїционістськом же тлумаченні твердження, що деяка формула достеменна, вимагає проведення деякої математичної побудови. Наприклад, " x $ в j істинно з інтуїционістськой точки зору, лише якщо є загальний метод, що дозволяє знаходити для кожного х відповідне в . Істинність " x (jùj) передбачає наявність методу для визначення дійсного члена диз'юнкції (jùj) для кожного значення параметра х . Наприклад, класично загальнозначущі формули що виражають закон виключеного третього (jùj) або закон пронесення заперечення через загальність (ù " x $ x ùj), інтуїционістськи необщезначими (теорія моделей розвивається, проте, і для інтуїционістського числення предикатів).

  Л. п. є звичайним базисом для побудови логічних числень, призначених для опису тих або інших дисциплін (прикладних числень). З цією метою мова числення предикатів «конкретизується»: до нього додають предикативні символи і знаки операцій, що виражають специфічні стосунки і операції даної дисципліни. Наприклад, якщо ми прагнемо описати дійсні думки арифметики натуральних чисел, то можна додати операції складання, множення, відношення подільності і тому подібне Потім, окрім аксіом і правил виведення числення прецикатов (логічних постулатів), в числення вводяться аксіоми, що виражають специфічні закони предмету, що вивчається (прикладні, специфічні аксіоми). Таким чином будується, наприклад, формальна арифметика .

  Окрім класичного і інтуїционістського числень предикатів, є і ін. логічні системи, що описують логічні закони, що виражаються іншими логічними засобами або з інших методологічних позицій. Сюди відносяться числення модальної логіки, імовірнісної логіки, індуктивної логіки і ін.

 

  Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957.

  А. Р. Драгалін.