Квантор
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Квантор

Квантор (від латів.(латинський) quantum — скільки), логічна операція, що дає кількісну характеристику області предметів, до якої відноситься вираження, що отримується в результаті її вживання. У звичайній мові носіями таких характеристик служать слова типа «все», «кожен», «деякий», «існує», «є», «будь-який», «всякий», «єдиний», «декілька», «нескінченно багато», «кінцеве число», а також всі кількісні числівники. У формалізованих мовах, складовою частиною яких є числення предикатів, для вираження всіх подібних характеристик виявляється достатнім До. двох видів: До. (все) спільності (зворот «для всіх х », позначається через " x ( " x) (x) ( A x) ) і До. існування («для деяких х », позначення: $ x, ( $ x), (Ех),

загрузка...

З допомогою До. можна записати чотири основні форми думок традиційної логіки: «все А суть В » записується у вигляді " x [ A ( x )É É B ( x )], «жодне A немає B » — у вигляді " x [ A ( x B ( x )], «деякі А суть B » — у вигляді $ x [ A ( x )& B ( x )], «деякі А не суть В » — у вигляді $ x [ A ( x )& B ( x )] (тут А ( х ) означає, що х володіє властивістю A É — знак імплікації,   заперечення & — кон'юнкції ).

  Частина формули, на яку поширюється дія яких-небудь До., називається зоною дії цього До. (її можна вказати за допомогою дужок). Входження який-небудь змінній у формулу безпосередньо після знаку До. або в зону дії До., після якого коштує ця змінна називається її зв'язаним входженням. Всі останні входження змінних називаються вільними. Формула, що містить вільні входження змінних, залежить від них (є їх функцією ); зв'язані ж входження змінних можна «перейменовувати»; наприклад, записи $ x ( x = 2 в ) і $ z ( z = 2 в ) означають одне і те ж, чого не можна сказати про $ x ( x = 2 в ) і $ x ( x = 2 t ). Вживання До. зменшує число вільних змінних в логічному вираженні і перетворює (якщо До. не «фіктивний», тобто відноситься до змінної, що дійсно входить у формулу) тримісний предикат на двомісний, двомісний — в одномісний, одномісний — у вислів. Вживання До. кодифікується спеціальними «постулатами квантифікації» (приєднання яких до численню висловів по суті і означає розширення його до числення предикатів), наприклад, наступними «постулатами Бернайса»: аксіомами A ( t ) É $ xa ( x ) і " xa ( x ) É A ( t ) і правилами виведення «якщо доведене З É А ( х ) É З , то можна визнавати доведеним і З É " хa ( х )» і «якщо доведене А ( х ) É З , то можна визнавати доведеним і $ хa ( x ) É C » (тут х не входить вільно в З ).

  До До. спільності і існування зводяться і ін. види До., наприклад замість так званого До. єдиності $ ! x («існує єдиний х такий, що») можна писати «звичайні» До., замінюючи $ ! xa ( x ) на

$ xa ( x ) & " в " z [ A ( в )& A ( z ) É в = z ].

Аналогічно, До., «обмежений» яким-небудь одномісним предикатом P ( x )( $ x P (x) , читається як «існує x , що задовольняє властивості Р і такий, що», а " x p ( x ) «для всіх х , що задовольняють властивості Р , вірно, що»), легко виразити через До. спільності і існування і оператори імплікації і кон'юнкції:

$ x p (x) A ( x ) º $ x [ P ( x )& A ( x )] і

" x p (x) A ( x ) º " x [ P ( x A ( x )].

  Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957, с. 72—80, 130—138; Черч А., Введення в математичну логіку, пер.(переведення) з англ.(англійський), т. 1, М., 1960, с. 42—48.

  Ю.А. Гастев.