Змінна

Змінна, змінне, одне з основних понять математики і логіки. Починаючи з робіт П. Ферма, Р. Декарта, І. Ньютона, Р. Ст Лейбніца і ін. основоположників «вищої» математики під П. розуміли деяку «величину», яка може «змінюватися», набуваючи в процесі цієї зміни різних «значень». Тим самим П. протиставлялися «постійним» (або константам) — числам або яким-небудь ін. «величинам», кожна з яких має єдине, сповна певне значення (див. Змінні і постійні величини ) . У міру розвитку математики і в ході її обгрунтування уявлення про «процеси», «зміну величин» і т. п. ретельно виганяли з математичного арсеналу як «внематематічеськие», внаслідок чого П. стала розумітися як позначення для довільного елементу даної наочної області (наприклад, області натуральних чисел або дійсних чисел), тобто як родове ім'я всієї цієї області (на відміну від констант — «власних імен» для чисел або ін. конкретних предметів даної області). Цей той, що передивляється поглядів на поняття П. був тісно пов'язаний з перебудовою математики на базі безлічі теорії, що завершилася в кінці 19 ст При всій простоті і «природності» такої перебудови вона істотним чином спирається на так звану абстракцію актуальної нескінченності, що дозволяє розглядати довільну безконечну безліч як «дані» («завершених», «готових», «актуальних») об'єкти і застосовувати по відношенню до ним будь-які засоби класичної логіки, відволікаючись від незавершеності і принциповою незавершимості процесу утворення такої безлічі. Труднощі вирішення логічних проблем, пов'язаних з прийняттям цієї абстракції, роблять зрозумілою часткову «реабілітацію» старовинних уявлень про «змінні величини»; при побудові математичних теорій представники деяких шкіл (див. Математичний інтуїционізм, Конструктивний напрям ) вважають за краще обходитися більш (слабкою, та зате менш уразливою в логічному відношенні абстракцією потенційної здійсненності, з точки зору якої з безконечною безліччю якраз зв'язуються уявлення про процеси їх «породження», - що скільки завгодно далеко заходять, але ніколи не завершуються (див. Нескінченність в математиці). При дослідженні питання несуперечності різних областей математики на таку позицію фактично встають значна більшість математиків і логіків (див. Метаматематика ) .

  У формалізованих мовах ( численнях, формальних системах) математичної логіки П. називаються символи строго фіксованого вигляду, що можуть за певних умов замінюватися виразам даного числення. Це відноситься до так званим вільним (або значущим) П. прикладом яких може служити П. в нерівності х > 5, що звертається при підстановці замість х, скажемо, цифри 7 (тобто позначення для числа) 7 в достеменне вислів, а при підстановці цифри 2 — в помилковий вислів. Що стосується так званих зв'язаних (або фіктивних) П., то вони самі по собі взагалі нічого не означають, несуть чисто синтаксичні функції і можуть (при дотриманні деяких елементарних обережностей) «перейменовуватися», тобто замінюватися ін. П. Така, наприклад, П. в в записах  або " yp (y) , в інтерпретації (прочитання) яких вона взагалі не входить і може бути замінена будь-якій ін. П. так, перша з них (читана як «сума цілих чисел від 5 до 25») може бути замінена на або, а друга («всі числа володіють властивістю Р») на " tp (t). Розрізняють індівідниє, пропозіциональниє, предикативні, функціональні, числові і ін. види П., замість яких можна (згідно із спеціальними правилами підстановки) підставляти відповідно позначення предметів з даної області («терми»), позначення для конкретних висловів, предикатів, функцій чисел і ін. Т. о., П. можна змістовно розуміти як «порожнє місце» у формулі, забезпечене вказівкою, чим це «місце» може бути «заповнене» (свого роду «тара під строго певний товар»).

  Вільні входження П. у вирази змістовних наукових теорій і формули логіко-математичних числень (відповідні вживанню невизначених займенників в звичайній мові) допускають різні інтерпретації. Перша (відповідна вживанню всякого роду процедур підстановок) — так звана предикативна інтерпретація: формула A ( x ₁ ..., x _n ) якого-небудь числення розуміється як деякий місцевий предикат . Та ж формула може інтерпретуватися і як пропозиція ( вислів ) , а саме як пропозиція " x ₁ . " x _n  A ( x ₁ . x _n ), що є її «замиканням», - це так звана інтерпретація загальності (споживана, наприклад, при формулюванні аксіом різних наукових теорій). Вільним П. можуть, нарешті, приписуватися значення, постійні в межах деякого контексту (наприклад, виводу з даної сукупності формул) їх тоді називають параметрами цього контексту і говорять про їх умовну інтерпретацію. Наприклад, П. х у вираженні cos х, узятому ізольовано, має предикативну інтерпретацію, в тотожності sin ² x + cos ² x  = 1 — інтерпретацію загальності, в рівнянні cos х = 1 (в процесі його рішення, коли ця П. іменується «невідомим») — умовну інтерпретацію.