Несуперечність, сумісність, властивість дедуктивної теорії (або системи аксіом, за допомогою яких теорія задається), що полягає в тому, що з неї не можна вивести протиріччя, тобто які-небудь дві пропозиції А і Ø А, кожне з яких є запереченням іншого. Для широкого класу формальних теорій, що включають аксіому А & Ø А É В («з протиріччя виходить будь-яке твердження»), Н. рівносильна існуванню в даній теорії хоч би однієї недоказової пропозиції.
Н., необхідна для того, щоб система могла розглядатися як опис деякої «змістовної ситуації», зовсім не гарантує існування такої ситуації. Втім, для будь-якої несуперечливої системи аксіом в кожному випадку можуть бути вказані абстрактні моделі; тому для представників «класичних» напрямів в підставах математики і логіки (і тим більше для представників моделей теорії ) Н. служить якщо і не обгрунтуванням «існування» описуваних аксіомами совокупностей абстрактних об'єктів, то, принаймні, достатньою підставою для змістовного розгляду і вивчення таких об'єктів. Оскільки описувана теорією «ситуація» лежить поза самою теорією, дане вище поняття Н., яке можна назвати «внутрішньою» (інакше —синтаксичеськой, або логічною) Н., тісно пов'язано з так званою «зовнішньою» (семантичною) Н., що полягає в недоказовності в даній теорії жодної пропозиції, що перечить (у звичайному змістовному сенсі) фактам описуваної нею «дійсності». Не дивлячись на цей зв'язок, синтаксична і семантична Н. рівносильні лише для таких «бідних» логічних теорій, як, наприклад, числення висловів (див. Логіка висловів ) ; взагалі ж кажучи, внутрішня Н. сильніше зовнішньою. Роль що відображується якою-небудь конкретною теорією «дійсності» може грати і деяка інша дедуктивна теорія, так що зовнішню Н. вихідній теорії можна розуміти як її відносну Н., а вказівка системи відповідних семантичних правил переведення понять, виразів і тверджень з другої теорії в першу, що дає інтерпретацію (модель) вихідної теорії, виявляється для неї доказом відносної Н.
В класичній математиці джерелом побудови моделей для таких доказів служить кінець кінцем безлічі теорія . Проте виявлення в теорії безлічі парадоксів (антиномій) зумовило потребу пошуку нових, принципово відмінних від методу інтерпретацій, методів доказу Н., — в деякому розумінні «абсолютних». (Така потреба виникає і через неспівпадання понять внутрішньою і зовнішньою Н.) Можна вибрати і проміжну дорогу, вимагаючи абсолютний доказ Н. лише для аксіоматичній теорії безлічі (до якої вже можна було б зводити проблеми Н. конкретних математичних теорій чисто теоретіко-модельнімі засобами) або навіть хоч би для такого відносно простого її фрагмента, як формалізована арифметика натуральних чисел, оскільки засобами останньою будується теоретико-множинний «універсум» (наочна область) основних розділів класичної математики. Така дорога і вибрав Д. Гільберт, що запропонував широку програму, в ході виконання якої обгрунтовувані теорії, перш за все, піддавалися б формалізації, а отримані формальні системи (числення) досліджувалися б на предмет їх синтаксичною Н. так званими фінітними (тобто змістовними, але не використовуючими сумнівних теоретико-множинних абстракцій) засобами. Такі абсолютні докази Н. склали основний вміст школою, що розвивалася, Гільберта метаматематики (теорії доказу). Але вже в 1931 До. Гедель довів принципову нездійсненність Гільбертової програми, а тим самим і обмеженість аксіоматичного методу, в рамках якого для досить багатих формальних теорій вимоги Н. і повнота виявляється несумісними (детальніше за див.(дивися) Аксіоматичний метод ) . Що ж до змістовних дедуктивних теорій (у тому числі і математичних), по відношенню до яких вимогу повноти втрачає сенс, то для них Н. як і раніше залишається найважливішим необхідним критерієм свідомості і практичної прикладеності.
Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957 (є літ.(літературний)). Див. також літ.(літературний) при статтях Аксіоматичний метод, Метаматематика .
