Повнота , властивість наукової теорії, що характеризує достатність для якої-небудь певної мети її виразних і (або) дедуктивних засобів.
Одін з аспектів поняття П. — т.з. функціональна П. (ф. п.) — стосовно природної мови є те (неформальне) його якістю, завдяки якій на нім можна сформулювати будь-яке осмислене повідомлення, що може знадобитися для тих або інших цілей. Наприклад, англійська мова функціонально повна з точки зору цілей, які мав на увазі В. Шекспір, створюючи «Гамлета» (якщо виходити з припущення, що йому удалося повністю реалізувати свій задум). Але і будь-який інший з «живих» мов, на який «Гамлет» переведений, повний в тому ж сенсі: переведення якраз і служить свідоцтвом цієї ф. п.
Аналогічно (у математиці), сімейство функцій, що належать деякому класу функцій, є повним відносно цього класу (і відносно деякого фіксованого запасу «допустимих» операцій над функціями), якщо будь-яку функцію цього класу можна виразити через функції даного сімейства (за допомогою допустимих операцій). Так, будь-яка з функцій sin x або cos x складає одноелементний клас, повний для всіх тригонометричних функцій (відносно чотирьох арифметичних дій, зведення в квадрат і витягання квадратного кореня); три одиничних вектора по осях координат утворюють повний клас (відносно складання, віднімання і множення на дійсне число) для безлічі всіх векторів тривимірного евклідова простори.
Поняття ф. п. грає важливу роль в математичній логіці: всі двомісні логічні операції числення висловів (див. Логіка висловів ) можуть бути виражені через кон'юнкцію і заперечення, або через диз'юнкцію і заперечення, або через імплікацію і заперечення, або навіть через єдину операцію антикон'юнкцію («штрих Шеффера»), тобто всі ці сімейства логічних в'язок є функціонально повними класами операцій алгебра логіки .
Для логіки і її додатків до дедуктивних наук не менш істотну роль грає т.з. дедуктивна П. (д. п.) аксіоматичних теорій (або, що те ж, покладених в їх основу систем аксіом; епітет «дедуктивна» зазвичай опускають). Залежно від вибору критерію «достатності» дедуктивних засобів теорії (або формального числення ) приходять до тієї або іншої точної модифікації поняття д. п. Взагалі аксіоматична система називається (дедуктивно) повною по відношенню до даній властивості (або даною інтерпретації ) , якщо всі її формули, що володіють даною властивістю (достеменні при даній інтерпретації), доказові в ній. Таке поняття д. п. («у широкому сенсі»), пов'язане з поняттям істинності, носить, очевидно, семантичний (змістовний, див.(дивися) Семантика ) характер. Але у ряді випадків поняття д. п. удається визначити чисто синтаксичним (формальним) дорогою і зробити предметом вивчення метаматематичними (див. Метаматематика ) засобами. Така д. п. («у вузькому сенсі») визначається як неможливість приєднання до системи без протиріччя жодної недоказової в ній формули як аксіома; ця («абсолютна») П., взагалі кажучи, сильніше семантичною П.: наприклад, числення предикатів, повне в широкому сенсі, у вузькому сенсі неповно.
Неповні (або, як часто говорять, некатегоричні) системи аксіом, що допускають істотно різні і притому неізоморфні інтерпретації (наприклад, теорія груп в абстрактній алгебрі або теорія топологічних просторів ), представляють особливий інтерес саме багатством і різноманітністю своїх застосувань (це обумовлюється різними шляхами «поповнення» теорії за рахунок приєднання різних аксіом). Але ще важливіше те, що (як встановив в 1931 До. Гедель ) для досить багатих аксіоматичних теорій (що включають формальну арифметику натуральних чисел і тим більше аксіоматичну теорію безлічі ) вимоги д. п. і несуперечності виявляються несумісними. Це вражаюче відкриття склало цілу епоху в розвитку математичної логіки, привело до усвідомлення принципової обмеженості що грає в ній велику роль аксіоматичного методу і стимулювало пошуки нових, гнучкіших у відомому сенсі, логічних і логіко-математичних теорій і нових дедуктивних засобів.
Див. також ст. Доказ і літ.(літературний) при ній.
Літ.: Кліні С. До., Введення в метаматематику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1957 §§ 29 32, 42, 72 (літ.); Новіков П. С., Елементи математичної логіки, М. 1959 гл.(глав) 2 § 10, гл.(глав) 3 § 7, гл.(глав) 4 §§ 17, 19.
