Моделей теорія, розділ математики, що виник при вживанні методів математичної логіки в алгебрі. До 2-ої половини 20 ст М. т. оформилася в самостійну дисципліну, методи і результати якої знаходять вживання як в алгебрі, так і в ін. розділах математики.
Основні поняття М. т. — поняття системи алгебри, формалізованої мови, істинності вислову даної мови в даній системі алгебри. Типовим прикладом системи алгебри є система натуральних чисел разом з операціями складання і множення, відношенням порядку і виділеними елементами 0, 1. Прості вислови про цю систему — вислови типа: « х + в = z при х = 2, в = 3, z = 5», « x в = z при х = 4, в = 2, z = 8», « x < в при х = 2, в = 3». З простих висловів складніші виходять за допомогою пропозіциональних в'язок «і», «або», «якщо..., то...», «не», а також кванторів «для кожного x ...», «існує таке х , що...». Наприклад, твердження, що числа u і v взаємно прості, детальніше записується у вигляді: «для кожних х, в і z , якщо u = х · в і v =х · z, то x = 1» і значить, виходить з простих за допомогою пропозіциональних в'язок і кванторів.
В загальному випадку під системою алгебри розуміється непорожня безліч разом із заданими на цій безлічі совокупностямі стосунків і операцій від кінцевого числа аргументів. Ці операції і стосунки називаються основними в системі алгебри. Кожній такій операції і кожному такому відношенню ставиться у відповідність певний символ. Набор W цих символів називається сигнатурою системи алгебри. Зазвичай вивчаються класи систем алгебри однієї сигнатури.
Найважливішою з формалізованих мов є мова 1-го рівня. Алфавіт цієї мови складається з набору W символів стосунків і операцій; знаків &, V ®, ù, ", $, що позначають пропозіциональниє в'язки і квантори (див. нижчий); набору символів, званих наочними змінними, а також дужок і коми. При цьому кожному символу відношення або операції приписується натуральне число, зване місцевістю цього символу; воно дорівнює числу аргументів тієї операції або того відношення, яким відповідає даний символ. У число символів стосунків включається спеціальний символ = для відношення рівності. Індуктивно визначаються поняття терма і формули. Наочні змінні є термами. Якщо f — символ n -местной операції, а про g 1 ..., g n вже відоме, що вони терми, то f ( g 1 ..., g n ) є теж терм. Прості формули — вирази вигляду P ( g 1 ..., g n ), де Р є n -местний символ відношення, а g 1 ..., g n — терми. Складніші формули виходять з простих за допомогою кінцевого числа скріплень їх знаками кванторів і пропозіциональних в'язок. Символи наочних змінних, що зустрічаються у формулі, розділяються на вільних і зв'язаних. Зв'язані ті, які знаходяться в області дії квантора з цього змінного, а останні вільні. Наприклад, у формулі
(" x ) ($y) ( f ( x , в ) = z V f ( x, в ) = u )
вільними є z і u , а х і в зв'язані кванторами. Формули без вільних змінних називаються висловами. Кожна формула з вільними змінними x 1 ..., x n на кожній системі алгебри А сигнатури W визначає n -местноє відношення. Наприклад, формула, що записує твердження, що числа u і v взаємно прості визначає на натуральних числах відношення взаємної простоти, яке для пари (3, 5) істинно, а для пари (2, 4) помилково. Для простих формул відповідне відношення фактично задається самою системою А . Для складніших формул відповідне відношення визначається шляхом інтерпретації кванторів і пропозіциональних в'язок: (Ф 1 & Ф 2 ) інтерпретується як «Ф 1 і Ф 2 », (Ф 1 V Ф 2 ) — як «Ф 1 або Ф 2 », (Ф 1 ® Ф 2 ) — як «якщо Ф 1 , то Ф 2 », ùФ — як «невірно, що Ф», ($ x ) Ф — як «для всіх х Ф», ($ х ) Ф — як «існує х , для якого Ф». Згідно з цим визначенням, кожен вислів в кожній системі алгебри відповідної сигнатури або помилково, або істинно. Наприклад, якщо символу f ставиться у відповідність операція складання на натуральних числах, то формула (" x ) f ( x, х ) = f ( f ( x, х ), х ), що стверджує, що 2 x = 3 х для всіх х , помилкова на натуральних числах, а формула (" x ( f ( x , x ) = x ® f ( x, х ) = f ( f ( x, х ), х )), що стверджує, що якщо 2 x = х , то 2 x = 3 х , достеменна. Система алгебри А називається моделлю даної безлічі S висловів, якщо кожен вислів з S істинно в А . Клас До систем алгебри називається аксіоматизованим, якщо До є сукупність всіх моделей деякої безлічі висловів. Багато важливих класів систем алгебри, наприклад класи груп, кілець, полів, аксиоматізіруєми.
Вивчення загальних властивостей аксіоматизованих класів — важлива частина М. т. У багатьох випадках за формою висловів з S удається судити про деякі властивості алгебри класу всіх моделей S. Наприклад, той факт, що гомоморфні образи і прямі твори груп знову виявляються групами, є слідство того, що клас груп може бути визначений як сукупність всіх моделей такої сукупності висловів S, що кожен вислів з S має вигляд (" x 1 )... ... (" x n ) f = g , де f, g — терми.
Фундаментальний результат М. т. — локальна теорема Мальцева (1936), згідно якої якщо кожна кінцева підсукупність сукупності S висловів має модель, то і S має модель. А. І. Мальцев знайшов багаточисельні вживання своєї теореми для доказу т. н. локальних теорем алгебри.
Важливим фактом в теорії аксіоматизованих класів є теорема Льовенхейма — Ськолема: всякий аксіоматизований клас кінцевої або рахункової сигнатури, що містить безконечні системи, містить і рахункову систему. Зокрема, не можна написати таку сукупність висловів, всі моделі якої були б ізоморфни одній безконечній системі алгебри, наприклад полю комплексних чисел або кільцю цілих чисел. Але проте існують аксіоматизовані класи, всі системи яких даній безконечній потужності ізоморфни.
Одним з важливих конкретних совокупностей висловів є сукупність, що визначає поняття безлічі. Це поняття описується на мові 1-го рівня, сигнатура якої складається з одного символу — символу бінарного відношення, що інтерпретується як « х є елемент в ». Існує декілька варіантів таких описів, кожен з яких здійснюється за допомогою своєї сукупності висловів. Ці сукупності називаються системами аксіом для теорії безлічі. Розвиток М. т. показав, що не можна вибрати таку систему аксіом для теорії безлічі, яка задовольнила б всі потреби математики (див. також Аксіоматична теорія безлічі ).
Центральна частина сучасною М. т. — це вивчення елементарних теорій, тобто теорій, що описуються на мові 1-го рівня. Проте поступове все зростаюче місце відводиться і вивченню теорій, що описуються за допомогою багатших мов.
Історична довідка. Основні поняття М. т. виникли в математиці в 19 ст, головним чином в роботах по підставах геометрії. До поняття моделі даної безлічі висловів впритул підійшов Н. І. Лобачевський в роботах по геометрії. Повною мірою воно з'явилося в роботах Е. Бельтрамі і Ф. Клейна, що побудували моделі геометрії Лобачевського. Сучасного формулювання основних понять М. т. склалися в роботах шкіл Д. Гильберта і А. Тарського . М. т. виникла на початку 30-х рр. 20 ст в результаті вживання методів математичної логіки в алгебрі, одним з ініціаторів якого був А. І. Мальцев.
Літ.: Мальцев А. І., Системи алгебри, М., 1970; Робінсон А., Введення в теорію моделей і метаматематику алгебри, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967.
