Багатозначна логіка, розділ математичної логіки, що вивчає математичні моделі логіки висловів . Ці моделі відображають дві основні межі останніми — множинність значень істинності висловів і можливість побудови нових, складніших висловів із заданих за допомогою логічних операцій, які дозволяють також по значеннях істинності вихідних висловів встановлювати значення істинності складного вислову. Прикладами багатозначних висловів є думки з модальним результатом («так», «ні», «можливо») і думки імовірнісного характеру, а прикладами логічних операцій — логічної в'язки типа «і», «або», «якщо..., то». У загальному випадку моделі М. л. є узагальненнями алгебра логіки . Поважно відзначити, що в алгебрі логіки вислову набувають лише два значення істинності («так», «ні»), у зв'язку з чим вона в загальному випадку не може відобразити всього різноманіття логічних побудов, що зустрічаються на практиці. При досить широкому тлумаченні М. л. у неї інколи включають також логічні числення .
Історично першими моделями М. л. з'явилися двозначна логіка Дж. Буля (звана також алгеброю логіки), тризначна логіка Я. Лукасевича (1920) і m -значная логіка Е. Поста (1921). Вивчення цих моделей склало важливий етап в створенні теорії М. л. М. л. володіє певною специфікою, що полягає в розгляді завдань і підходів, що виникають при дослідженні М. л. з позицій математичної логіки, теоретичної кібернетики і алгебра . Так, з позицій теоретичної кібернетики, моделі М. л. розглядаються як мови, що описують функціонування складних систем, що управляють, компоненти яких можуть знаходитися в деякому числі різних станів; а з точки зору алгебри, моделі М. л. є системами алгебри, що мають поряд з прикладним і чисто теоретичний інтерес.
Побудова моделей М. л. здійснюється по аналогії з побудовою двозначної логіки. Так, індивід, вислови логіки, розбиті на класи з одним і тим же значенням істинності, приводять до поняття безлічі Е — констант моделі, які фактично ототожнюють всі індивідуальні вислови замінюючи їх відповідними значеннями істинності; змінні вислови — до змінних величин x 1 , x 2 ..., які як значення приймають елементи з безлічі Е ; логічної в'язки — до безлічі М-коду елементарних функцій (операцій), які, як і їх аргументи, набувають значень з Е . Складні вислови, побудовані з індивідуальних і змінних висловів, а також логічних в'язок, приводять до безлічі < М-код > формул над М-кодом . Значення істинності з Е складного вислову є функцією від відповідних значень істинності висловів, що входять в даний складний вислів. У моделі ця функція приписується формулі, відповідній даному складному вислову; говорять також, що формула реалізують цю функцію. Безліч формул < М-код > приводить до безлічі [ М-код ] функцій, що реалізовуються формулами з < М-код > і званих суперпозиціями над М-кодом . Безліч [ М-код ] називається замиканням безлічі М-коду . Завдання конкретній моделі М. л. вважається еквівалентним вказівці безлічі Е, М-коду < М-код > і [ М-код ]; при цьому говорять, що модель породжується безліччю М-коду . Ця модель називається формульной моделлю, а також m -значной логікою, де m позначає потужність безлічі Е .
Своєрідність підходу математичної кібернетики к М. л. полягає в розгляді моделей М. л. як систем, що управляють. Елементарні функції при цьому є елементами, що виробляють певні операції, а формули інтерпретуються як схеми, побудовані з елементів і також здійснюючі переробку вхідної інформації у вихідну. Системи, що такого роду управляють, відомі в кібернетиці як схеми з функціональних елементів, широко використовуються в теоретичних і практичних питаннях кібернетики. В той же час існує ряд завдань логіки і кібернетики, який пов'язаний з вивченням відповідностей між безліччю М-коду і [ М-код ] і при якому роль безлічі < М-код > декілька затушовується, зводившись до способу визначення другої безлічі по першому. В цьому випадку приходять до іншої моделі М. л., яка є алгеброю, елементами якої є функції, що приймають в якості значень, як і їх аргументи, елементи з Е . Як операції в цій алгебрі зазвичай використовується спеціальний набір операцій, еквівалентний в сенсі відповідностей М-коду і [ М-код ] безлічі формул, побудованих з функцій безлічі М-коду , тобто здобуттю складних функцій із заданих шляхом підстановки одних функцій замість аргументів інших.
До завдань, характерних для формульной моделі М. л., відноситься завдання «о описі», тобто питання про вказівку для заданої безлічі М-коду 2 Í [ M 1 ] всіх формул з < M 1 >, що реалізовують функції з М-коду 2 . Окремим випадком такого завдання є важливе питання математичної логіки про вказівку всіх формул, що реалізовують задану константу, що, наприклад, для числення висловів еквівалентно побудові всіх тотожно достеменних висловів. Пограничним питанням між математичною логікою і алгеброю, що примикає до завдання про опис, є завдання про тотожні перетворення. У ній при заданій безлічі М-коду потрібно виділити в деякому розумінні просту підмножину пар рівних (тобто що реалізовують одну і ту ж функцію) формул < М-код >, що дозволяє шляхом підстановки виділених рівних формул одній замість іншої отримати з будь-якої формули всі формули, рівні їй. Аналогічне місце займає одне з найважливіших питань для М. л. — т.з. проблема повноти, що полягає у вказівці всіх таких підмножин M 1 заданого замкнутого, тобто співпадаючого зі своїм замиканням, безліч М-коду , для яких виконана рівність [ M 1 ] = М-код , тобто має місце властивість повноти M 1 в М-коді . Глобальним завданням для М. л. є опис структури замкнутих класів даній моделі М. л.
Характерний для теорії систем, що управляють, питання про складність цих систем природно виникає і по відношенню до формул і функцій з М. л. Типовим при такому підході є наступне завдання про складність реалізації. На безлічі всіх елементарних формул деяким способом вводиться числова міра (складність формул), яка потім поширюється на безліч всіх формул, наприклад, шляхом підсумовування заходів всіх тих елементарних формул, які беруть участь в побудові заданої формули. Потрібно для заданої функції вказати ту формулу (просту), яка реалізує цю функцію і має найменшу складність, а також з'ясувати, як ця складність залежить від деяких властивостей даної функції. Досліджуються різні узагальнення цього завдання. Широкий круг питань пов'язаний з реалізацією функцій формулами з наперед заданими властивостями. Сюди відносяться завдання про реалізацію функцій алгебри логіки диз'юнктивними нормальними формами і пов'язане з цим завдання про мінімізацію; а також завдання про реалізацію функцій формулами в деякому розумінні обмеженої глибини (тобто такими формулами, в яких ланцюжок підставлюваних один в одного формул має обмежену довжину, таке обмеження пов'язане з надійністю і швидкістю обчислень).
Вирішення всіх перерахованих завдань істотно залежать від потужності безлічі Е і безліч М-коду , що породжує задану модель М. л.
До найбільш важливих прикладів М. л. відносяться кінцевозначні логіки (тобто m -значниє логіки, для яких m звичайно). Серед них найглибше досліджений випадок m = 1. Найважливішим результатом тут є повний опис структури замкнутих класів і здобуття для них важливої інформації по завданню про складність реалізації. Встановлено, що при m > 2 в кінцевозначних логік виникає ряд особливостей, що істотно відрізняють їх від двозначного випадку. Такі, наприклад, контінуальность безліч замкнутих класів (при m = 2 їх рахункове число), особливості рішення задачі об складнощі реалізації і ряд інших. Загальним результатом для кінцевозначних логік є ефективне рішення задачі про облиште для замкнутих класів, що містять всі функції із значеннями в Е . Вирішення останніх проблем для кінцевозначних логік просунуто в різній мірі. Особлива значущість кінцевозначних логік пов'язана ще і з тим, що вони дозволяють описувати роботу самих різних реальних обчислювальних пристроїв і автоматів.
Прикладами інший М. л. є счетнозначниє і контінуум-значниє логіки (тобто такі m -значниє логіки, для яких потужність m є, відповідно, рахунковою або контінуальной). Ці моделі грають важливу роль в математичній логіці, моделей теорії і в математичному аналізі. До М. л. інколи відносять і така алгебра функцій, в яких запас операцій декілька відрізняється від вказаного. Як правило, це досягається шляхом звуження описаного запасу або введення в операції деяких функцій що розглядається М. л.
Літ.: Яблонський С. Ст, Гаврілов Р. П. Кудрявцев Ст Би., Функції алгебри логіки і класи Поста, М., 1966; Яблонський С. Ст, Функціональні побудови в к-значной логіці, «Тр. Матем. інституту АН(Академія наук) СРСР», 1958, т. 51, с. 5—142.
