Тотожність , основне поняття логіки, філософії і математики; використовується в мовах науковою теорій для формулювання визначальних співвідношень, законів і теорем.
В математиці Т. — це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень тих, що входять в нього змінних. З логічної точки зору, Т. — це предикат, що змальовується формулою х = в (читається: « х тотожно в », « х те ж саме, що і в »), якому відповідає логічна функція, достеменна, коли змінні х і в означають різні входження «одного і того ж» предмету, і помилкова інакше. З філософської (гносеологічною) точки зору, Т. — це відношення, засноване на уявленнях або думках про те, що таке «один і той же» предмет реальності, сприйняття, думки.
Логічні і філософські аспекти Т. додаткові: перший дає формальну модель поняття Т., другий, — підстави для вживання цієї моделі. Перший аспект включає поняття про «один і той же» предмет, але сенс формальної моделі не залежить від вмісту цього поняття: ігноруються процедури ототожнень і залежність результатів ототожнень від умов або способів ототожнень, від явно або абстракцій, що неявно приймаються при цьому. У другому (філософському) аспекті розгляду підстави для вживання логічних моделей Т. зв'язуються з тим, як ототожнюються предмети, по яких ознаках, і вже залежать від точки зору, від умов і засобів ототожнення.
Розрізнення логічних і філософських аспектів Т. сходить до відомого положення, що думка про тотожність предметів і Т. як поняття — це не одне і те ж (див. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Істотно, проте, підкреслити незалежність і несуперечність цих аспектів: поняття Т. вичерпується сенсом відповідною йому логічній функції; воно не виводиться з фактичної тотожності предметів, «не витягується» з неї, а є абстракцією, що заповнюється в «відповідних» умовах досвіду або, в теорії, — шляхом припущень (гіпотез ) про фактично допустимі ототожнення; в той же час, при виконанні подстановочності (див. нижче аксіому 4) у відповідному інтервалі абстракції ототожнення, «усередині» цього інтервалу, фактичне Т. предметів в точності збігається з Т. в логічному сенсі.
Важливість поняття Т. зумовила потреба в спеціальних теоріях Т. Самий поширений спосіб побудови цих теорій — аксіоматичний. Як аксіоми можна вказати, наприклад, наступні (не обов'язково все):
1. х = х ,
2. х = в É в = х ,
3. x = в & в = z É x = z ,
4. А ( х ) É ( х = в É А ( в )),
де А ( х ) — довільний предикат, що містить х вільно і вільний для в , а А ( х ) і А ( в ) розрізняються лише входженнями (хоч би одним) змінних х і в .
Аксіома 1 постулювала властивість рефлексивності Т. В традиційній логіці вона вважалася єдиною логічним законом Т., до якого як «нелогічні постулати» додавали зазвичай (у арифметиці, алгебрі, геометрії) аксіоми 2 і З. Аксиому 1 можна вважати гносеологічно обгрунтованою, оскільки вона є свого роду логічним вираженням індівідуациі, на якому, у свою чергу грунтується «даність» предметів в досвіді, можливість їх пізнавання: щоб говорити про предмет «як даному», необхідно якось виділити його, відрізнити від ін. предметів і надалі не плутати з ними. У цьому сенсі Т., засноване на аксіомі 1, є особливим відношенням «самотождественності», яке пов'язує кожен предмет лише з самим собою, — і ні з яким ін. предметом.
Аксіома 2 постулювала властивість симетричності Т. Она стверджує незалежність результату ототожнення від порядку в парах ототожнюваних предметів. Ця аксіома також має відоме виправдання в досвіді. Наприклад, порядок розташування гирь і товару на вагах різний, якщо дивитися зліва направо, для покупця і продавця, обернених лицем один до одного, але результат — в даному випадку рівновага — один і той же для обох.
Аксіоми 1 і 2 спільно служать абстрактним вираженням Т. як непомітності, теорії, в якій уявлення про «один і той же» предмет грунтується на фактах не наблюдаємості відмінностей і істотно залежить від критеріїв розрізнюваності, від засобів (приладів), що відрізняють один предмет від іншого, кінець кінцем — від абстракції непомітності. Оскільки залежність від «порогу розрізнюваності» на практиці принципово неусувна, уявлення про Т., що задовольняє аксіомам 1 і 2, є єдиним природним результатом, який можна отримати в експерименті.
Аксіома 3 постулювала транзитивність Т. Она стверджує, що суперпозиція Т. також є Т. і є першим нетривіальним твердженням про тотожність предметів. Транзитивність Т. — це або «ідеалізація досвіду» в умовах «убуваючої точності», або абстракція, що заповнює досвід і що «створює» новий, відмінний від непомітності, сенс Т.: непомітність гарантує лише Т. в інтервалі абстракції непомітності, а ця остання не пов'язана з виконанням аксіоми З. Аксиоми 1, 2 і 3 спільно служать абстрактним вираженням теорії Т. як еквівалентності .
Аксіома 4 постулював необхідною умовою для Т. предметів збіг їх ознак. З логічної точки зору, ця аксіома очевидна: «одному і тому ж» предмету належать всі його ознаки. Але оскільки уявлення про «один і той же» предмет неминуче грунтується на певного роду допущеннях або абстракціях, ця аксіома не є тривіальною. Її не можна веріфіцировать «взагалі» — по всіх мислимих ознаках, а лише в певних фіксованих інтервалах абстракцій ототожнення або непомітності. Саме так вона і використовується на практиці: предмети порівнюються і ототожнюються не по всіх мислимих ознаках, а лише по деяких — основним (початковим) ознакам тієї теорії, в якій хочуть мати поняття про «один і той же» предмет, засноване на цих ознаках і на аксіомі 4. У цих випадках схема аксіом 4 замінюється кінцевим списком її аллоформ — конгруєнтних їй «змістовних» аксіом Т. Наприклад, в аксіоматичної теорії безлічі Цермела — Френкеля — аксіомами:
4.1 z Î x É ( x = в É z Î в ),
4.2 x Î z É ( x = в É в Î z ),
що визначають, за умови, що універсум містить лише безліч, інтервал абстракції ототожнення безлічі по «членству в них» і по їх «власному членству», з обов'язковим додаванням аксіом 1—3, що визначають Т. як еквівалентність.
Перераховані вище аксіоми 1—4 відносяться до так званих законів Т. Із них, використовуючи правила логіки, можна вивести і багато ін. закони, невідомі в до математичній логіці. Відмінність між логічним і гносеологічним (філософським) аспектами Т. не має значення, якщо йдеться про загальних абстрактних формулюваннях законів Т. Справа, проте, істотно міняється, коли ці закони використовуються для опису реалій. Визначаючи поняття «Один і той же» предмет, аксіоматики Т. необхідно впливають на формування універсуму «усередині» відповідної аксіоматичної теорії.
Літ.: Тарський А., Введення в логіку і методологію дедуктивних наук, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Новоселів М., Тотожність, в кн.: Філософська енциклопедія, т. 5, М., 1970; його ж, Про деякі поняття теорії стосунків, в кн.: Кібернетика і сучасне наукове пізнання, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Рівність, схожість, порядок, М., 1971; Кліні С. До., Математична логіка, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.
