Рівняння в математиці, аналітичний запис завдання про розшук значень аргументів, при яких значення двох даних функцій рівні. Аргументи, від яких залежать ці функції, називаються зазвичай невідомими, а значення невідомих, при яких значення функцій рівні, – рішеннями (корінням); про такі значення невідомих говорять, що вони задовольняють даному В. Наприклад, 3 x – 6 = 0 є В. з одним невідомим, а х = 2 є його рішення; x 2 + в 2 = 25 є В. з двома невідомими, а х = 3, в = 4 є одне з його рішень. Сукупність вирішень даного В. залежить від області М-коду значень, що допускаються для невідомих. В. може не мати рішень в М-коді, тоді воно називається нерозв'язним в області М. Якщо В. вирішуваний, то воно може мати одне або декілька, або навіть безконечна безліч рішень. Наприклад, В. x 4 – 4 = 0 нерозв'язно в області раціональних чисел, але має два рішення:
x 1 =, x 2 = – в області дійсних чисел і чотири рішення: x 1 =, x 2 = –, x 3 = i, x 4 = – в області комплексних чисел. В. sin x = 0 має безконечну безліч рішень: x до = до p ( до = 0 ± 1 ± 2...) в області дійсних чисел. Якщо В. має рішеннями всі числа області М-коду, те воно називається тотожністю в області М. Наприклад, В. х = є тотожністю в області ненегативних чисел і не є тотожністю в області дійсних чисел.
Сукупність В., для яких потрібний знайти значення невідомих, що задовольняють одночасно всім цим В., називається системою У.; значення невідомих, задовольняючих одночасно всім В. системи, – вирішеннями системи. Наприклад, х + 2 в = 5, 2 x + в – z = 1 є системою два В. з трьома невідомими; одним з вирішень цієї системи є х = 1, в = 2, z = 3.
Дві системи В. (або два В.) називаються рівносильними, якщо кожне вирішення однієї системи (одного В.) є вирішенням ін. системи (іншого В.), і навпаки, причому обидві системи (обидва В.) розглядаються в одній і тій же області (див. Рівносильні рівняння ) . Наприклад, В. х – 4 = 0 і 2 x – 8 = 0 рівносильні, т.к. решенієм обидва В. є лише х = 4. Всяка система В. рівносильна системі вигляду f до ( x 1 , x 2 ..., х п ) = 0, де до = 1, 2... Процес розшуку рішень В. полягає зазвичай в заміні В. рівносильним. В деяких випадках доводиться замінювати дане В. іншим, для якого сукупність рішень ширша, ніж в даного У. Решенія нового В., що не є вирішеннями даного В., називаються сторонніми рішеннями (див. Сторонній корінь ) .
Наприклад, зводячи в квадрат В., отримують В. x - 3 = 4, вирішення якого х = 7 є стороннім для початкового В. Тому, якщо при рішенні В. робилися дії, що можуть привести до появи сторонніх рішень (наприклад, зведення В. у квадрат), то всі отримані вирішення перетвореного В. перевіряють підстановкою в початкове В.
Найбільш вивчені В., для яких функції f до є многочленами від змінних x 1 , x 2 ..., х п , – алгебра В. Наприклад, алгебра В. з одним невідомим має вигляд:
а 0 x n + а 1 x n-1 +... + а n = 0 ( а 0 ¹ 0); (*)
число n називається мірою У. Решеніє алгебраїч. В. було одним з найважливіших завдань алгебри в 16–17 вв.(століття), коли були отримані формули і методи вирішення алгебри В. 3-ої і 4-ої мір (див. Алгебра, Кардано формула ) (правила вирішення алгебри В. 1-й і 2-й мір були відомі ще в глибокій старовині). Для коріння В. 5-й і вищих мір загальної формули не існує, оскільки ці В., взагалі кажучи, не можуть бути вирішені в радикалах (Н. Абель, 1824). Питання про вирішувану алгебри В. у радикалах привів (близько 1830) Е. Галуа до загальної теорії алгебри В. (див. Галуа теорія ) .
Кожна алгебра В. завжди має хоч би одне рішення, дійсне або комплексне. Це складає вміст т.з. основної теореми алгебри, строгий доказ якої вперше був даний До. Гаусом в 1799. Якщо а – рішення В. (*), то многочлен а 0 x n + а 1 x n-1 +... + а n ділиться на х – a . Якщо він ділиться на ( х – а) до , але не ділиться на ( х – а) k+1 , то рішення а має кратність до. Число всіх рішень В. (*), якщо кожне вважати стільки раз, яка його кратність, рівне n .
Якщо f ( x ) – трансцендентна функція, те В. f ( x ) = 0 називаються трансцендентним (див., наприклад, Кеплера рівняння ) , причому залежно від вигляду f ( x ) воно називається тригонометричним В., логарифмічним В., показовим У. Рассматріваются також ірраціональні В., тобто В., що містять невідоме під знаком радикала. При практичному рішенні В. зазвичай застосовуються різні наближені методи рішення В.
Серед систем В. простими є системи лінійних В., тобто В., у яких f до суть многочлени перших ступенів відносно x 1 , x 2 ..., х п (див. Лінійне рівняння ) .
Вирішення системи В. (не обов'язково лінійних) зводиться, взагалі кажучи, до рішення одного В. при допомозі т.з. виключення невідомих (див. також Результант ) .
В аналітичній геометрії одне В. з двома невідомими інтерпретується за допомогою кривої на плоскості, координати всіх точок якої задовольняють даному У. Одно В. з трьома невідомими інтерпретується за допомогою поверхні в тривимірному просторі. При цій інтерпретації вирішення системи В. збігається із завданням про розшук точок пересічення ліній, поверхонь і т.д. В. з великим числом невідомих інтерпретуються за допомогою многообразій в n -мерних просторах.
В теорії чисел розглядаються невизначені В., тобто В. з декількома невідомими, для яких шукаються цілі або ж раціональні рішення (див. Діофантови рівняння ) . Наприклад, цілі рішення В. x 2 + в 2 = z 2 вигляд х = m 2 -n 2 , в = 2 mn, z = m 2 + n 2 де m і n – цілі числа.
З найбільш загальної крапки зір, В. є записом завдання про розшук таких елементів деякої безлічі А, що F ( а ) = Ф ( а ), де F і Ф – задані відображення безлічі А в безліч Ст Якщо безліч А і В є безліччю чисел, то виникають В. розглянутого вище вигляду. Якщо А і В – безліч крапок в багатовимірних просторах, то виходять системи В., якщо ж A і В – безліч функцій, то залежно від характеру відображення можуть виходити також диференціальні рівняння, інтегральні рівняння і ін. види У. Наряду з питаннями знаходження рішення В. у загальній теорії В. різного вигляду вивчаються питання існування і єдиності рішення, безперервній залежності його від тих або інших даних і т.д.
