Рівносильні рівняння , рівняння, що мають одну і ту ж безліч коріння (в разі кратного коріння потрібно, щоб кратності відповідного коріння збігалися). Так, з трьох рівнянь: = 2, 3 х — 7 = 5, ( х — 4) 2 = 0, перше і друге — Р. в., а перше і третє не Р. в. (т.к. кратность кореня х = 4 для першого рівняння рівна 1, а для третього рівна 2). Якщо до обом частинам рівняння додати один і той же многочлен від х або помножити обидві частини на одне і те ж число, не рівне 0, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, x 2 — x + 1 = x — 1 і x 2 — 2x + 2 = 0 — Р. в. (до обох частин першого доданий многочлен: — х + 1); 0,01 х 2 — 0,37х + 1 = 0 і x 2 — 37x + 100 = 0 — також Р. в. (обидві частини першого помножені на 100). Але якщо помножити або розділити обидві частини рівняння на многочлен міри не нижче 1, то отримане рівняння, взагалі кажучи, не буде рівносильним даному. Наприклад, х — 1 = 0 і (х — 1)(х + 1) = 0 — не Р. в. (корінь х = — 1 другого не є коренем першого). Поняття «Р. у.» набуває точного сенсу, коли вказане поле у якому лежить коріння рівнянь. Наприклад, x 2 — 1 = 0 і x 4 — 1 = 0 — Р. в. у полі дійсних чисел (безліч коріння як для одного, так і для іншого складається з 2 чисел: x 1 = 1, x 2 = —1). Але вони не Р. в. у полі комплексних чисел, т.к. второє має ще 2 уявних кореня: x 3 = i, x 2 = — i. Поняття Р. в. можна застосовувати і до системи рівнянь. Наприклад, якщо Р ( х, в ) і Q ( x , в ) — два многочлени від змінних х і в і а, b, з і d — числа (дійсні або комплексні), то дві системи: Р ( х, в ) = 0, Q ( x, в ) = 0 і ap ( x, в ) + bq ( x, в ) = 0, cp ( x, в ) + dq ( x, в ) = 0 рівносильні тоді, коли визначник ad — bc ¹ 0.
