Максвелла рівняння, фундаментальні рівняння класичною макроскопічною електродинаміки, електромагнітні явища, що описують, в довільному середовищі. М. в. сформульовані Дж. До. Максвеллом в 60-х роках 19 століть на основі узагальнення емпіричних законів електричних і магнітних явищ. Спираючись на цих закони і розвиваючи плідну ідею М. Фарадея про те, що взаємодії між електрично зарядженими тілами здійснюються за допомогою електромагнітного поля, Максвелл створив теорію електромагнітних процесів, що математично виражається М. в. Сучасна форма М. в. дана німецьким фізиком Р. Герцем і англійським фізиком О. Хевісайдом .
М. в. зв'язують величини, що характеризують електромагнітне поле, з його джерелами, тобто з розподілом в просторі електричних зарядів і струмів. У порожнечі електромагнітне поле характеризується двома векторними величинами, залежними від просторових координат і часу: напруженістю електричного поля Е і магнітною індукцією В . Ці величини визначають сили, поля, що діють з боку, на заряди і струми, розподіл яких в просторі задається щільністю заряду r (зарядом в одиниці об'єму) і щільністю струму j (зарядом, переносимим в одиницю часу через одиничний майданчик, перпендикулярний напряму руху зарядів). Для опису електромагнітних процесів в матеріальному середовищі (у речовині), окрім векторів Е і В , вводяться допоміжні векторні величини, залежні від стану і властивостей середовища: електрична індукція D і напруженість магнітного поля Н .
М. в. дозволяють визначити основні характеристики поля ( Е, В, D і Н ) в кожній точці простору у будь-який момент часу, якщо відомі джерела поля j і r як функції координат і часу. М. в. можуть бути записані в інтегральній або у диференціальній формі (нижче вони дани в абсолютній системі одиниць Гауса; див.(дивися) СГС система одиниць ) .
М. в. у інтегральній формі визначають по заданих зарядах і струмах не самі вектори поля Е, В, D, Н в окремих точках простору, а деякі інтегральні величини, залежні від розподілу цих характеристик поля: циркуляцію векторів Е і Н уздовж довільних замкнутих контурів і потоки векторів D і B через довільні замкнуті поверхні.
Перше М. в. є узагальненням на змінні поля емпіричного Ампера закону про збудження магнітного поля електричними струмами. Максвелл висловив гіпотезу, що магнітне поле породжується не лише струмами, поточними в провідниках, але і змінними електричними полями в діелектриках або вакуумі. Величина, пропорційна швидкості зміни електричного поля в часі, була названа Максвеллом струмом зсуву. Струм зсуву збуджує магнітне поле по тому ж закону, що і струм провідності (пізніше це було підтверджено експериментально). Повний струм, рівний сумі струму провідності і струму зсуву, завжди є замкнутим.
Перше М. в. має вигляд:
, (1, а)
тобто циркуляція вектора напруженості магнітного поля уздовж замкнутого контура L (сума скалярних творів вектора Н в даній точці контура на нескінченно малий відрізок dl контура) визначається повним струмом через довільну поверхню S , обмежену даним контуром. Тут j n — проекція щільності струму провідності j на нормаль до нескінченно малою площадке ds , частиною поверхні S, що є, — проекція щільності струму зсуву на ту ж нормаль, а з = 3×10 10 см/сек — постійна, рівна швидкості поширення електромагнітних взаємодій у вакуумі.
Друге М. в. є математичною формулюванням закону електромагнітної індукції Фарадея (див. Індукція електромагнітна ) записується у вигляді:
, (1, би)
тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля уздовж замкнутого контура L (едс індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню S , обмежену даним контуром. Тут B n — проекція на нормаль до майданчика ds вектора магнітної індукції В ; знак мінус відповідає Лінь правилу для напряму індукційного струму.
Третє М. в. виражає дослідні дані про відсутність магнітних зарядів, аналогічних електричним (магнітне поле породжується лише струмами):
, (1, в)
тобто потік вектора магнітної індукції через довільну замкнуту поверхню S дорівнює нулю.
Четверте М. в. (зазвичай зване Гауса теоремою ) є узагальненням закону взаємодії нерухомих електричних зарядів — Кулона закону :
, (1, г)
тобто потік вектора електричної індукції через довільну замкнуту поверхню S визначається електричним зарядом, що знаходиться усередині цієї поверхні (у об'ємі V , обмеженому даною поверхнею).
Якщо вважати, що вектори електромагнітного поля ( Е, В, D, Н ) є безперервними функціями координат то, розглядаючи циркуляцію векторів Н і Е по нескінченно малих контурах і потоки векторов B і D через поверхні, що обмежують нескінченно малі об'єми, можна від інтегральних співвідношень (1, а — г) перейти до системи диференціальних рівнянь, справедливих в кожній точці простору, тобто отримати диференціальну форму М.. (зазвичай зручнішу для вирішення різних завдань):
rot,
rot, (2)
div,
div.
Тут rot і div — диференціальні оператори ротор (див. Вихор ) і дивергенція, що діють на вектори Н , Е , B і D . Фізичний сенс рівнянь (2) той же, що і рівнянь (1).
М. в. у формі (1) або (2) не утворюють повної замкнутої системи, що дозволяє розраховувати електромагнітні процеси за наявності матеріального середовища. Необхідно їх доповнити співвідношеннями, що зв'язують вектори Е, Н, D, В і j , які не є незалежними. Зв'язок між цими векторами визначається властивостями середовища і її станом, прічем D і j виражаються через Е , а B — через Н :
D = D ( E ), B = B ( Н ), j = j ( E ). (3)
Ці три рівняння називаються рівняннями стану, або матеріальними рівняннями; вони описують електромагнітні властивості середовища і для кожного конкретного середовища мають певну форму. У вакуумі D º Е і B º Н . Сукупність рівнянь поля (2) і рівнянь стану (3) утворюють повну систему рівнянь.
Макроскопічні М. в. описують середовище феноменологічно, не розглядаючи складного механізму взаємодії електромагнітного поля із зарядженими частками середовища. М. в. можуть бути отримані з Лоренца — Максвелла рівнянь для мікроскопічних полів і певних уявлень про будову речовини шляхом усереднювання мікрополів по малих просторово-часових інтервалах. В такий спосіб виходять як основні рівняння поля (2), так і конкретна форма рівнянь стану (3), причому вигляд рівнянь поля не залежить від властивостей середовища.
Рівняння полягання в загальному випадку дуже складні, оскільки вектори D , B і j в даній точці простору в даний момент часу можуть залежати від полів Е і Н в усіх точках середовища у всі попередні моменти часу. У деяких середовищах вектори D і B можуть бути відмінними від нуля при Е і H рівних нулю (сегнетоелектріки і феромагнетики ). Проте для більшості ізотропних середовищ, аж до вельми значних полів, рівняння стану мають просту лінійну форму:
D = e E , B = m H , j = s E + j з тр . (4)
Тут e ( x, в, z ) — діелектрична проникність, а m ( x, в, z ) — магнітна проникність середовища, що характеризують відповідно її електричні і магнітні властивості (у вибраній системі одиниць для вакууму e = m = 1); величина s( x, в, z ) називається питомою електропровідністю; j стр — щільність так званих сторонніх струмів, тобто струмів, підтримуваних будь-якими силами, окрім сил електричного поля (наприклад, магнітним полем, дифузією і т. д.). У феноменологічній теорії Максвелла макроскопічні характеристики електромагнітних властивостей середовища e, m і s мають бути знайдені експериментально. У мікроскопічній теорії Лоренца — Максвелла вони можуть бути розраховані.
Проникність e і m фактично визначає той вклад в електромагнітне поле, який вносять так звані зв'язані заряди, що входять в склад електрично нейтральних атомів і молекул речовини. Експериментальне визначення e, m, s дозволяє розраховувати електромагнітне поле в середовищі, не вирішуючи важку допоміжну задачу про розподіл зв'язаних зарядів і відповідних ним струмів в речовині. Щільність заряду r і щільність тока j в М. в. — це щільність вільних зарядів і струмів, причому допоміжні вектори Н і D вводяться так, щоб циркуляція вектора Н визначалася лише рухом вільних зарядів, а потік вектора D — щільністю розподілу цих зарядів в просторі.
Якщо електромагнітне поле розглядається в двох середовищах, що граничать, то на поверхні їх розділу вектори поля можуть зазнавати розриви (скачки); в цьому випадку рівняння (2) мають бути доповнені граничними умовами:
[ nh ] 2 - [ nh ] 1 =,
[ ne ] 2 - [ ne ] 1 = 0, (5)
( nd ) 2 - ( nd ) 1 = 4ps,
( nb ) 2 - ( nb ) 1 = 0.
Здесь j пов і s — щільність поверхневого струму і заряду, квадратні і круглі дужки — відповідно векторний і скалярний твори векторів, n — одиничний вектор нормалі до поверхні розділу в напрямі від першого середовища до другого (1®2), а індекси відносяться до різних сторін кордону розділу.
Основні рівняння для поля (2) лінійні, рівняння ж стану (3) можуть бути і нелінійними. Зазвичай нелінійні ефекти виявляються в досить сильних полях. У лінійних середовищах [що задовольняють співвідношенням (4)] і, зокрема, у вакуумі М. в. лінійні і, таким чином, виявляється справедливим суперпозиції принцип : при накладенні полів вони не роблять впливу один на одного.
З М. в. витікає ряд законів збереження. Зокрема, з рівнянь (1, а) і (1, г) можна отримати співвідношення (так зване рівняння безперервності):
, (6)
що є законом збереження електричного заряду: повний струм, що протікає за одиницю часу через будь-яку замкнуту поверхню S , дорівнює зміні заряду усередині об'єму V , обмеженого цією поверхнею. Якщо струм через поверхню відсутній, то заряд в об'ємі залишається незмінним.
З М. в. витікає, що електромагнітне поле володіє енергією і імпульсом (кількістю руху). Щільність енергії w (енергії одиниці об'єму поля) рівна:
, (7)
Електромагнітна енергія може переміщатися в просторі. Щільність потоку енергії визначається так званим вектором Пойнтінга
. (8)
Напрям вектора Пойнтінга перпендикулярно як Е , так і Н і збігається з напрямом поширення електромагнітній енергії, а його величина дорівнює енергії, переносимій в одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярної до вектора П . Якщо не відбувається перетворень електромагнітної енергії на інші форми, то, згідно М. в., зміна енергії в деякому об'ємі за одиницю часу дорівнює потоку електромагнітної енергії через поверхню, що обмежує цей об'єм. Якщо усередині об'єму за рахунок електромагнітної енергії виділяється тепло, то закон збереження енергії записується у формі:
(9)
де Q — кількість теплоти, що виділяється в одиницю часу.
Щільність імпульсу електромагнітного поля g (імпульс одиниці об'єму поля) пов'язана з щільністю потоку енергії співвідношенням:
. (10)
Існування імпульсу електромагнітного поля вперше було виявлене експериментально в дослідах П. Н. Лебедева по виміру тиску світла (1899).
Як видно з (7), (8) і (10), електромагнітне поле завжди володіє енергією, а потік енергії і електромагнітний імпульс відмінні від нуля лише у разі, коли одночасно існують і електричне і магнітне поля (причому ці поля не паралельні один одному).
М. в. приводять до фундаментального виводу про скінченність швидкості поширення електромагнітних взаємодій (рівною з = 3×10 10 см/сек ) . Це означає, що при зміні щільності заряду або струму в деякій точці простору породжуване ними електромагнітне поле в точці спостереження змінюється не в той же момент часу, а через час t = R/c , де R — відстань від елементу струму або заряду до точки спостереження. Унаслідок кінцевої швидкості поширення електромагнітних взаємодій можливе існування електромагнітних хвиль, окремим випадком яких (як вперше показав Максвел) є світлові хвилі.
Електромагнітні явища протікають однаково у всіх інерціальних системах відліку, тобто задовольняють принципу відносності. Відповідно до цього М. в. не міняють своєї форми при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої (релятивістський інваріантні). Виконання принципу відносності для електромагнітних процесів виявилося несумісним з класичними уявленнями про простір і час, зажадало того, що передивляється цих вистав і привело до створенню спеціальної теорії відносності (А. Ейнштейн, 1905; див.(дивися) Відносності теорія ) . Форма М. в. залишається незмінною при переході до нової інерціальної системи відліку, якщо просторів, координати і час, вектори поля Е, Н, В, D , щільність струму j і щільність заряду r змінюються в відповідності з Лоренца перетвореннями (що виражають нові, релятивістські уявлення про простір і час). Релятивістсько-інваріантна форма М. в. підкреслює той факт, що електричне і магнітне поля утворюють єдине ціле.
М. в. описують величезну область явищ. Вони лежать в основі електротехніки і радіотехніки і грають найважливішу роль в розвитку таких актуальних напрямів сучасної фізики, як фізика плазми і проблема керованих термоядерних реакцій, магнітна гідродинаміка, нелінійна оптика, конструювання прискорювачів заряджених часток, астрофізика і так далі М. в. непридатні лише при великих частотах електромагнітних хвиль, коли стають істотними квантові ефекти, тобто коли енергія окремих квантів електромагнітного поля — фотонів — велика і в процесах бере участь порівняно невелике число фотонів.
Літ.: Максвелл Дж. До., Вибрані вигадування по теорії електромагнітного поля, переклад з англійського М., 1952; Тамм І. Е., Основи теорії електрики, 7 видавництво, М., 1957; Калашников С. Р., Електрика, М., 1956 (Загальний курс фізики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М., Фейнмановськие лекції з фізики (переклад з англійського], ст 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М., Теорія поля, 5 видавництво, М., 1967 (Теоретична фізика, т. 2); їх же, Електродинаміка суцільних середовищ, М., 1959.
