Лінія (від латів.(латинський) linea), геометричне поняття, точне і в той же час достатній загальне визначення якого представляє значні труднощі і здійснюється в різних розділах геометрії різно.
1) У елементарній геометрії розглядаються прямі Л., відрізки прямих, ламані Л., складені з відрізань, і деякі криві Л. Каждий вигляд кривих Л. визначається тим або іншим спеціальним способом (наприклад, коло визначається як геометричне місце крапок, що мають задану відстань R від заданої точки Про, — центру кола). Інколи в підручниках дають визначення Л. як кордони шматка поверхні (поверхня визначається при цьому як кордон тіла) або як траєкторії рухомої крапки. Але в рамках елементарної геометрії ці визначення не отримують виразного формулювання.
2) Уявлення про Л. як траєкторії рухомої крапки може бути зроблено сповна строгим за допомогою ідеї параметричного представлення Л. Наприклад, вводячи на плоскості прямокутні координати ( x, в ), можна параметрично задати коло радіусу R з центром на початку координат рівняннями
x = R cos t, в = R sin t.
Коли параметр t пробігає відрізок 0 £ t £ 2p, крапка ( х, в ) описує коло. Взагалі, Л. на плоскості задають параметричними рівняннями вигляду
x = j ( t ) , в = ( t ) ,
де j ( t ) , ( t ) — довільні функції, безперервні на якому-небудь кінцевому або безконечному інтервалі D числової осі t . З кожним значенням параметра t (з інтервалу D) рівняння (*) зіставляють деяку точку M координати якої визначаються цими рівняннями. Л., задана параметричними рівняннями (*) є безліч крапок, відповідних всіляким значенням t з D, за умови, що ці крапки розглядаються в певному порядку, саме: якщо точка M 1 відповідає значенню параметра t 1 , а точка M 2 — значенню t 2 , то M 1 вважається передуючою M 2 , якщо t 1 < t 2 При цьому крапки, що відповідають різним значенням параметра, завжди вважаються різними.
Аналогічно, в тривимірному просторі Л. задається параметрично трьома рівняннями вигляду
x = j ( t ) , в = ( t ) , z = з ( t ) ,
де j ( t ) ( t ) , з ( t ) — довільні функції, безперервні на якому-небудь інтервалі. У довільному топологічному просторі Т (яке, зокрема, може бути плоскістю, поверхнею, звичайним тривимірним простором, функціональним простором і т. п.) Л. параметрично задають рівнянням вигляду
P = j ( t ) ,
де j — функція дійсного змінного t , безперервна на якому-небудь інтервалі, значення якої суть точки простору Т. Рахують, що дві параметричні вистави задають одну і ту ж Л., якщо вони визначають один і той же порядок дотримання її крапок (у сенсі, вказаному вище).
В аналізі і топології розглядають зазвичай випадок, коли область зміни параметра t є відрізок а £ t £ b . В цьому випадку умова того, щоб два параметричні представлення
Р = j ( t ) , а £ t £ b
P = j 1 ( t 1 ) , a 1 £ t 1 £ b 1 ,
змальовували одну і ту ж Л., полягає в існуванні безперервної і строго зростаючої функції
t 1 = f ( t ) ,
для якої
f ( а ) = a 1 , f ( b ) = b 1 , j ( t ) = j 1 [f ( t ) ].
Таке розуміння терміну «Л.» найприродніше в більшості питань аналізу (наприклад, в теорії криволінійних інтегралів) і механіки. Оскільки Л. тут розглядається разом з порядком, в якому пробігає її крапки змінна точка М-коду при зростанні t , то при цьому природно виникає питання про число проходжень змінної точки Л. через яку-небудь точку простору. Окрім простих крапок, прохідних один раз, Л. може мати кратні крапки, які проходятся кілька разів (що відповідають різним значенням параметра).
Наприклад, при зміні t в межах — ¥ < t < ¥ крапка з координатами
,
описує строфоїду (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 5 ), потрапляючи в положення х = 0, в = 0 двічі при t = — 1 і t = + 1.
3) З аналітичної геометрії відомий і інший спосіб завдання Л. на плоскості рівнянням
F ( x, в ) = 0;
в просторі — двома рівняннями
F ( x, в, z ) = 0, G ( x, в, z ) = 0.
Обмежуючись випадком плоскості, вкажемо лише, як будується поняття алгебри Л. (кривій) — Л., визначуваною рівнянням
F ( x, в ) = 0,
де F ( x, в ) —ціла функція алгебри, тобто многочлен якої-либо міри n ³ 1. В цьому випадку вважають, що два многочлени F 1 ( x, в ) і F 2 ( x, в ) визначають одну і ту ж алгебру Л. у тому і лише у тому випадку, коли існує така постійна з ¹ 0, що виконується тотожно співвідношення
F 1 ( x, в ) = cf 2 ( x, в ) .
Таким чином, всі многочлени, що визначають одну і ту ж Л., мають одну і ту ж міру n , звану порядком відповідною Л. Наприклад, в аналітичній геометрії прийнято вважати, що рівняння
( х - в ) 2 = 0
визначає Л. другого порядку, а саме, двічі узяту пряму х — в = 0.
У зв'язку з останнім прикладом необхідно відмітити, проте, що часто доцільно обмежуватися розглядом Л алгебри, що не приводяться., тобто таких Л., для яких многочлен не допускає представлення F = GH, де G і Н — відмінні від постійних многочлени. Далі, в пункті 4, мається на увазі лише цей випадок.
Говорять, що точка ( x 0 , y 0 ) кривої F ( x, в ) = 0 має кратність m, якщо розкладання F ( x, в ) по мірах x = х — x 0 , h = в — y 0 починається з членів міри m (по сукупності змінних x і h). В разі m = 2, тобто в разі подвійної точки
F ( x, в ) = а 11 ( х — x 0 ) 2 + 2а 12 ( х — x 0 ) ( в — y 0 ) + a 22 ( в — y 0 ) 2 + ...,
де багатокрапка означає, що далі слідують члени вищих порядків. За допомогою дискримінанта
d = a 11 a 22 — а 12 2
можна визначити типа подвійної точки (див. Особливі точки ) .
4) Часто, особливо при вивченні алгебри Л., доцільно стати на точку зору комплексної проектної геометрії, тобто розглядати, поряд з точками евклідової дійсної плоскості (або простори), крапки нескінченно видалені і уявні. Лише при такому підході (і належному обліку кратності пересічення) стає вірним, наприклад, твердження, що два Л. порядків n і m перетинаються в mn крапках. В разі m = 1 це приводить до можливості визначити порядок Л. як число n крапок її пересічення з прямою.
З проектної точки зору природно задавати Л. на плоскості однорідним рівнянням
F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0
між однорідними координатами x 1 , x 2 , x 3 її крапок. Через принцип подвійності з цим завданням рівноправний завдання Л. рівнянням
F(x 1 , x 2 , x 3 )= 0,
що зв'язує однорідні координати прямих, Л. Таким, що стосуються, образом, поряд з порядком Л. (мірою рівняння F = 0) природно виникає поняття класу Л. — міри рівняння F = 0. Клас Л алгебри. можна також визначити як число дотичних, які можна провести до Л. з довільної крапки. Про параметричне представлення Л. див.(дивися) також Унікурсальні криві .
5) Розглянуті вище (у пунктах 2—4) уточнення і узагальнення поняття Л. істотно пов'язані з відповідним апаратом алгебри і аналітичного. На відміну від цього, сучасна топологія висунула завдання уточнення уявлення про Л. як про безліч крапок, незалежно від способів алгебри або аналітичного завдання цієї безлічі.
Якщо виходити з параметричного завдання Л. у вигляді безперервної функції P = j ( t ), де t пробігає відрізок а £ t £ b , але цікавитися лише отриманим безліччю крапок без врахування порядку їх дотримання, то приходять до поняття Л., сформульованому в 80-х рр. 19 ст До. Жорданом (див. Жордана крива ) . Виявляється, що таким безперервним чином відрізання може бути будь-який локально зв'язний континуум, зокрема квадрат, трикутник, куб і тому подібне (див. Пеано крива ) . Тому тепер зазвичай вважають за краще говорити не про Л. у сенсі Жордана, а про локально зв'язкових, або жорданових, континуумі. Взаємно однозначний безперервний образ відрізання називають простою дугою, або жорданової дугою. Взаємно однозначний безперервний образ кола називають простою замкнутої дуги Л. Простиє і прості замкнуті Л. не вичерпують, проте, точкової безлічі, заслуговуючої найменування Л.
Уникаючи і надмірної спільності, і надмірного звуження поняття Л., у сучасній топології користуються поняттям Л., введеним в 1921 П. С. Урисоном, який визначає Л. (криву) як довільний континуум розмірності одиниця. Континуум має розмірність одиниця, якщо при будь-якому e > 0 він може бути представлений у вигляді суми кінцевого числа замкнутої безлічі діаметру, меншого e, що володіють тією властивістю, що жодні три з цієї замкнутої безлічі не мають загальної крапки (див. також Розмірність в геометрії). Континуум, лежачий на плоскості, буде Л. у сенсі Урисона тоді і лише тоді, коли він не містить внутрішніх крапок. Цією властивістю характеризував раніше (70-і рр. 19 ст) Л., лежачі на плоскості, Р. Кантор . Хоча визначення Кантора застосовне лише до Л., лежачим на плоскості інколи і загальні Л. у сенсі Урисона називають «канторовимі кривими».
Л. Н. Колмогоров.
6) Ще математики старовини вивчали лінії другого порядку (еліпс, гіперболу і параболу ) . Ними ж були розглянуті ряд окремих чудових Л алгебри. вищого порядку, а також деякі трансцендентні (неалгебра) Л. Систематічеськоє вивчення Л. і їх класифікація стали можливими із створенням аналітичної геометрії (Р. Декарт ) .
З Л. третього порядку найбільш відомі:
Декартовий аркуш (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 1 ). рівняння в прямокутних координатах: x 3 + y 3 — 3аху = 0. Вперше крива визначається в листі Р. Декарта до П. Ферма в 1638. Повна форма кривої з наявністю асимптоти, що проходить через крапки ( — а , 0) і (0 — а ), була визначена пізніше (1692) Х. Гюйгенсом і І. Бернуллі . Назва «Декартовий аркуш» встановилася на початку 18 ст
Локон Аньезі (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 2 ). Хай є круг з діаметром OC = - а і відрізок BDM, побудований так, що ОВ : BD = OC : ВМ; геометричним місцем точок М-коду є локон Аньезі (або верзієру). рівняння в прямокутних координатах: в = a 3 / ( a 2 + x 2 ). Дослідження цій Л. пов'язано з ім'ям італійською жінки-математика Марії Аньезі (1748).
Кубічна парабола (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 3 ). рівняння в прямокутних координатах: в = x 3 .
Напівкубічна парабола (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 4 ), парабола Нейля. рівняння в прямокутних координатах: в = -сх 3/2 . Названа по імені англійського математика У. Нейля (1657), що знайшов довжину її дуги.
Строфоїда (від греч.(грецький) stróphos — кручена стрічка і éidos — вигляд) (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 5 ). Хай є нерухома пряма АВ і крапка З поза нею на відстані CO = а ; довкола З обертається пряма, що пересікає АВ в змінній точці N. Якщо від точки N відкласти по обидві сторони прямої АВ відрізки NM = NM'' = NO, то геометричне місце точок М-коду і М'' для всіх положень променя CN, що обертається, і є строфоїда. Рівняння в прямокутних координатах: ; у полярних координатах: r = —a cos 2j/cosj. Вперше строфоїду досліджував Е. Торрічеллі (1645), назва була введена в середині 19 ст
Цисоїда Діоклеса (див. мал. криві «Алгебри третього порядку» № 6 ) (греч. kissoeides, від kissós — плющ і éidos — вигляд), геометричне місце точок М-коду, для яких OM = PQ (Р — довільна точка виробляючого круга з діаметром а ). Рівняння в прямокутних координатах: y 2 = х 3 / ( а — х ); у полярних координатах: r = а sin 2 j/cos j. Древні греки розглядали лише ту частину цисоїди, яка знаходиться усередині виробляючого круга. Разом з дугою кола ця частина утворює фігуру, що нагадує аркуш плющивши (звідки назва); наявність безконечних гілок була встановлена в 17 ст французьким математиком Ж. П. Робервалем і незалежно від нього бельгійським математиком Р. Ф. Слюзом.
З Л. четвертого і вищих порядків найбільш відомі:
Кардіоїда (від греч.(грецький) kardía — серце і éidos — вигляд) (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 1 ), крива, що описується якою-небудь точкою М-коду кола радіусу а, що котиться без ковзання по нерухомому колу того ж радіусу. рівняння в прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 — 2ах ) 2 = 4a ( x 2 + y 2 ); у полярних координатах: r = 2а (1 + cos j).
Конхоїда Никомеда (від греч.(грецький) konchoeides — схожий на раковину) (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 2 ), крива, що виходить при збільшенні або зменшенні кожного радіус-вектора точок даної прямої на одну і ту ж величину d , т. о., OM = OP — d або OM'' = OP + d . Якщо відстань від полюса Про до даної прямої рівно а, те рівняння в прямокутних координатах: ( х — а ) 2 ( х 2 + y 2 ) — d 2 x 2 = 0, в полярних координатах: r = a/ cosj ± d . Вперше розглядалася старогрецьким геометром Никомедом (близько 250—150 до нашої ери), який використовував її для вирішення завдань про трисекції кута і подвоєнні куба .
Лемніската Бернуллі (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 3 ) (від латів.(латинський) lemniscatus, буквально — прикрашений стрічками), крива, що має форму вісімки; геометричне місце крапок, твір відстаней яких від фокусів F 1 ( — а , 0) і F 2 ( а , 0) рівне а 2 . рівняння в прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 ) 2 — 2a 2 ( x 2 — y 2 ) =0, у полярних координатах: r 2 = 2а 2 cos 2j. Вперше розглядалася Я. Бернуллі (1694). Лемніската є окремим випадком овалів Кассині і синуса-спіралей.
Овали Декарта (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 4 ), геометричні місця точок М-кодів, відстані яких від двох фіксованих точок F 1 і F 2 , званих фокусами, помножених на дані числа, мають постійну суму з тобто m Mf 1 + + n Mf 2 = з . рівняння в прямокутних координатах:
( x + y’’ —2rx ) 2 — l 2 ( x 2 + y 2 ) — до = 0,
де r, l і до — деякі постійні, пов'язані з параметрами m, n і d ; у полярних координатах:
( n 2 — m 2 )( 2 + 2 (( mc — n2d cos () + n 2 d 2 — с 2 = 0.
Окрім фокусів F 1 і F 2 , є і третій фокус F 3 , рівноправний з кожним з них. При m = 1, n = 1 овал Декарта перетворюється на еліпс; при m = 1 і n = —1 — в гіперболу. Окремим випадком овалу є також равлик Паськаля. Овали вперше досліджувалися Р. Декартом (1637).
Овали Кассині (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 5 ), геометричні місця точок М-коду, твір відстаней яких від двох даних крапок постійно. Хай F 1 і F 2 крапки на осі абсцис, F 1 F 2 = 2 b , а твір Mf 1 ×MF 2 = а 2 . рівняння в прямокутних координатах:
( x 2 + y 2 ) 2 — 2b 2 ( a 2 — y 2 ) = a 4 — b 4 .
Якщо, то овал Кассині — опукла крива; якщо b < а <, то крива має вигляд овалу з двома потовщеннями; при а = b овал Кассині перетворюється на лемніскату, нарешті, при b > а овал Кассині є двозвязковій кривій. Вперше розглянута Дж. Кассині (17 ст).
Равлик Паськаля (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 6 ), геометричне місце точок М і M'', розташованих на прямих пучка (центр якого Про лежить на колі радіусу R) на відстані а по обидві сторони від точки Р пересічення прямих з колом; т. о., PM = PM'' = а . рівняння в прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 — 2rx ) 2 — а 2 ( х 2 + y 2 ) = 0, в полярних координатах: r = 2 R cos j + а . Прі а = 2 R петливши стягується в крапку, в цьому випадку равлик Паськаля перетворюється на кардіоїду. Назва по імені французького ученого Е. Паськаля (1588—1651), що вперше вивчав її.
Астроїда (від греч.(грецький) ástron — зірка і éidos — вигляд) (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 7 ), крива, що описується точкою рухливого кола, яке торкається зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться по ній без ковзання. рівняння в прямокутних координатах: x 2/3 + y 2/3 = а 2/3 , де а — радіус нерухомого кола. Астроїда — лінія 6-го порядку.
Троянди (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 8 ), криві, полярне рівняння яких: r = а sin m j; якщо m — раціональне число, то троянди — алгеброю Л. парного порядку. При m непарному троянда складається з від пелюсток, при m парному — з 2 m пелюсток; при m раціональному пелюстки частково покривають один одного.
Синусоїдальні спіралі, синус-спіралі (см. мал.(малюнок) криві «Алгебри четвертого і вищих порядків» № 9 ), криві, полярне рівняння яких r m = a m cos m j; еслі m — раціональне число, то ці Л. — алгебра. Окремі випадки: m = 1 — коло, m = — 1 — пряма, m = 2 — лемніската Бернуллі, m = —2 — равнобочная гіпербола, m = 1 / 2 — кардіоїда, m = — 1 / 2 — парабола. При цілому m > 0 Л. складається з m пелюсток, кожен з яких лежить усередині кута, рівного p/ m , при раціональному m > 0 пелюсток можуть частково покривати один одного; якщо m < 0, то Л. складається з від безконечних гілок.
Квадратріса (див. мал. «Трансцендентні криві» № 1 ). Хай пряма MN рівномірно обертається проти годинникової стрілки довкола крапки Про, а пряма А''В'' рівномірно рухається справа наліво, залишаючись паралельною OC. Далі, хай за час руху A''B'' від AB до OC пряма MN повертається на прямий кут і переходить з положення OA = r в положення OC. Геометричне місце точок Р пересічення прямих MN і A''B'' і є квадратріса. рівняння в прямокутних координатах: ; у полярних координатах: . Частина квадратріси, увязнена, в квадраті OABC була відома древнегреч. математикам. Відкриття квадратріси приписується Гиппію Елідському (5 ст до н.е.(наша ера)), що використав її для вирішення завдання про трисекцію кута. Дінострат (4 ст до н.е.(наша ера)) за допомогою квадратрнси виконав квадратуру круга.
Трактриса (див. мал. «Трансцендентні криві» № 2 ), крива, для якої довжина відрізання дотичної від точки дотику М-коду до точки Р пересічення з даною прямою є величина постійна, рівна а . Рівняння в прямокутних координатах:
.
Ланцюгова лінія (див. мал. «Трансцендентні криві» № 3 ), крива, форми якої набуває гнучка однорідна і нерозтяжна важка нитка, кінці якої закріплені в двох крапках. рівняння в прямокутних координатах: в = а = а ( e x/a + е -х/a ) / 2.
Циклоїда (від греч.(грецький) kykloeides — колоподібний) (див. мал. «Трансцендентні криві» № 4 ), крива, яку описує точка Р, розташована на відстані а від центру круга радіусу r , що котиться без ковзання по прямій лінії. Якщо Р лежить на колі круга ( r = а ), отримують звичайну циклоїду (див. мал. «Трансцендентні криві» № 4а ), якщо вона лежить усередині круга ( r > а ), — укорочену циклоїду (див. мал. «Трансцендентні криві» № 4б ), якщо крапка поза кругом ( r < а ), — подовжену циклоїду (див. мал. «Трансцендентні криві» № 4в ). Два останні Л. називають трохоїдами. Рівняння в параметричній формі:
.
Серед трансцендентних Л. особливий клас складають спіралі (від греч.(грецький) spéira, буквально — вите), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів що обходять деяку крапку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї. Якщо вибрати цю крапку за полюс системи координат, то полярне рівняння спіралі r = f(j) таке, що f(j + 2p)> f(j) або f(j + 2p)< f(j) при всіх j. Із спіралей найбільш відомі:
Архимедова спіраль (див. мал. «Трансцендентні криві» № 5 ), крива, що описується крапкою, рівномірно рухомою по прямій в той час, як ця пряма рівномірно обертається в плоскості довкола точки О. рівняння в полярних координатах: r = а j, де а — постійна. Ця спіраль вивчалася Архімедом (3 ст до н.е.(наша ера)) у зв'язку із завданнями трисекції кута і квадратури круга.
Гіперболічна спіраль (див. мал. «Трансцендентні криві» № 6 ), крива, що описується точкою М-коду, рухомою по прямій, що обертається OA, так, що її відстань від центру обертання міняється обернено пропорційно до кута повороту. Рівняння в полярних координатах: r = а/j.
Жезл (див. мал. «Трансцендентні криві» № 7 ), крива, рівняння якої в полярних координатах: . Кожному значенню j відповідають два значення r — позитивне і негативне. Крива складається з двох гілок, кожна з яких асимптотика наближається до полюса.
Логарифмічна спіраль (див. мал. «Трансцендентні криві» № 8 ), крива, рівняння якої в полярних координатах: r = ає до j . Була відома багатьом математикам 17 ст
Спіраль Корню (див. мал. «Трансцендентні криві» № 9 ), клотоїда, крива, що складається з двох гілок, симетричних відносно початки координат. рівняння в параметричній формі:
, в = а.
Використовувалася французьким фізиком М. А. Корню (1874) для графіч. вирішення деяких завдань дифракції світла.
si-ci-спіраль (див. мал. «Трансцендентні криві» № 10 ), крива, параметричне рівняння якої має вигляд
До циклоїди за способом побудови примикає клас циклоїдних кривих, які можуть бути як алгеброю, так і трансцендентними. Серед них:
Гіпоциклоїда (см. мал.(малюнок) «Циклоїдні криві» № 1а, 1б ), крива, що описується точкою кола, що котиться без ковзання по іншому колу усередині неї. Рівняння в параметричній формі:
,
,
де А — радіус нерухомою, а а — рухливому колу. Вигляд кривої залежить від відношення А/а .
Епіциклоїда (см. мал.(малюнок) «Циклоїдні криві» № 2а, 2б ), крива, що описується точкою кола, що котиться без ковзання по іншому колу поза нею. Рівняння вийде з рівняння гіпоциклоїди заміною а на — а .
Подовжена гіпоциклоїда (епіциклоїда), крива, що описується крапкою, лежачому зовні колу, яке котиться без ковзання по іншому колу усередині (зовні) неї (см. мал.(малюнок) «Циклоїдні криві» № 3а, 4д ). Аналогічно визначається укорочена гіпоциклоїда (епіциклоїда) (см. мал.(малюнок) «Циклоїдні криві» № 3б, 4б ). Подовжені і укорочені гіпоциклоїди і епіциклоїди інколи називаються гипо- і епітрохоїдами.
Ст І. Бітюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Іванов.
Літ.: Маркушевіч А. І., Чудові криві, 2 видавництва, М. — Л., 1952; Савелов А. А., Плоскі криві. Систематика, властивості, вживання (Довідкове керівництво), М., 1960; Пархоменко А. С., Що таке лінія, М., 1954; Погорелов А. Ст, Диференціальна геометрія, 5 видавництво, М., 1969; Уокер А., Криві алгебри, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1—2, Lpz. — B., 1910—11.
