Унікурсальна крива (від уні. і лат.(латинський) cursus — біг, дорога) (матем.), плоска крива,, яка може бути задана параметричними рівняннями x = j ( t ), в = в ( t ), де j ( t ) і в ( t ) — раціональні функції параметра t . Найважливіші теореми про В. к.: якщо крива алгебри має максимальне число подвійних крапок, що допускається її порядком, то вона уникурсальна; зворотна їй: всяка В. до. є кривій алгебри з максимальним числом подвійних крапок, що допускаються її порядком. У формулюванні цих теорем передбачається, що точки вищої кратності перераховані по певних правилах на подвійні (наприклад, одна потрійна крапка еквівалентна трьом подвійним).
Максимальне число подвійних крапок, яке може мати крива алгебри n -го порядку рівне ( n – 1)( n – 2) /2 = d. Якщо крива n-ого порядку має r подвійних крапок, то різниця d - r , тобто число подвійних крапок, не дістає, до максимального числа називається дефектом, або родом, цією кривою. В. до. може бути також тому визначена як крива алгебри, рід якої дорівнює нулю. Очевидно, що пряма лінія і крива 2-го порядку не можуть мати подвійних крапок, отже, вони завжди уникурсальни. Крива 3-го порядку уникурсальна, якщо вона має одну подвійну крапку, крива 4-го порядку уникурсальна, якщо вона має три подвійні крапки, і так далі
На мал. змальована крива 3-го порядку, звана декартовим аркушем; вона має одну подвійну крапку і, отже, уникурсальна. Насправді, вона може бути задана параметричними рівняннями:
де параметр t рівний тангенсу кута нахилу радіус-вектора крапки ( x , в ) до осі Ox .
При підрахунку подвійних крапок не можна грунтуватися на зовнішньому вигляді кривої, оскільки подвійні крапки можуть бути нескінченно видаленими або уявними. Наприклад, крива 4-го порядку — лемніската Бернуллі, має одну лише дійсну подвійну крапку, але вона має ще дві подвійні крапки в уявних кругових крапках і, отже, уникурсальна.
В. до. грають важливу роль в теорії інтегралів функцій алгебри. Всякий інтеграл вигляду
де R ( x , в ) є раціональна функція два змінних, а в є функція від x , визначувана рівнянням F ( x , в ) = 0, задаючим В. до., приводиться до інтеграла від раціональної функції і виражається в елементарних функціях.
