Функцій теорія, розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості функцій . Ф. т. розпадається на дві частини: теорія функцій дійсного змінного і теорія функцій комплексного змінного.
В «класичному» математичному аналізі основним об'єктом вивчення є безперервні функції, що задані на (кінцевих або безконечних) інтервалах і володіють більш менш високою мірою гладкості. Проте вже з 2-ої половини 19 ст розвиток математики все наполегливіше став вимагати систематичного вивчення функцій загальнішого типа. Основною причиною цього є те, що межа послідовності безперервних функцій може бути розривний. Іншими словами, клас безперервних функцій виявляється незамкнутим відносно найважливішої операції аналізу — граничного переходу. У зв'язку з цим функції, визначувані за допомогою таких класичних засобів,, як тригонометричні ряди часто виявляються розривними або такими, що не диференціюються. З тієї ж причини можуть бути розривні похідні безперервних функцій і т.п. Нарешті, диференціальні рівняння, що виникають при розгляді фізичних завдань, інколи не мають рішень в класі досить гладких функцій, але мають їх в ширших класах функцій (якщо належним чином повідомити само поняття рішення). Вельми поважно, що саме ці узагальнені рішення (див. Узагальнені функції ) і дають відповідь на вихідне фізичне завдання. Ці і аналогічні ним обставини стимулювали створення Ф. т. дійсного змінного.
Окремі приватні факти Ф. т. дійсного змінного були відкриті ще в 19 ст (існування рядів безперервних функцій з розривною сумою, приклади безперервних функцій, що ніде не диференціюються, не інтегрованих функцій і т.п.). Проте ці факти сприймалися зазвичай як «виключення з правил» і не об'єднувалися жодними загальними схемами. Лише на початку 20 ст, коли в основу вивчення функцій були покладені методи безлічі теорії, стала розвиватися систематично сучасна Ф. т. дійсного змінного.
Можна розрізнити три напрями у Ф. т. дійсного змінного.
1) Метрична Ф. т., де властивості функцій вивчаються за допомогою міри (див. Міра безлічі ) тієї безлічі, на якій ці властивості мають місце. У метричній Ф. т. із загальних точок зору вивчаються інтеграція і диференціювання функцій (див. Інтеграл, Диференціал, Похідна ), різними способами узагальнюється поняття збіжності функціональних послідовностей, досліджується будова розривних функцій вельми широкого типа і т.п. Найважливішим класом функцій що вивчається в метричній Ф. т., є вимірні функції .
2) Дескриптивна Ф. т., в якій основним об'єктом вивчення є операція граничного переходу (див. Бера класифікація ).
3) Конструктивна Ф. т., що вивчає питання зображення довільних функцій за допомогою належних аналітичних засобів (див. Наближення і інтерполяція функцій ).
Літ.: Александров П. С., Введення в загальну теорію безлічі і функцій, М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 4 видавництва, М., 1976.
