Диференціал (від латів.(латинський) differentia — різниця, відмінність) в математиці, головна лінійна частина приросту функції. Якщо функція в = f ( x ) одного змінного х має при х = х 0 похідну, той приріст
D в = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 )
функції f ( x ) можна представити у вигляді
D в = f'' ( x 0 ) D x + R ,
де член R нескінченно малий в порівнянні з D х . Перший член
dy = f'' ( x 0 ) D х
в цьому розкладанні і називається диференціалом функції f ( x ) в точці x 0 . З цієї формули видно, що диференціал dy лінійно залежить від приросту незалежного змінного D x , а рівність
D в = dy + R
показує, в якому сенсі Д. dy є головною частиною приросту D в .
Узагальнення поняття диференціала. Узагальнення поняття Д. на вектор-функції, почало якому поклали на початку 20 ст французьких математиків Р. Гато і М. Фреше, дозволяє краще з'ясувати сенс поняття «диференціал» для функцій декілька змінних, а у вживанні до функціоналам приводить до поняття варіації, лежачого в основі варіаційного числення .
Важливу роль в цьому узагальненні грає поняття лінійної функції (лінійного відображення). Функція L ( x ) векторного аргументу х називається лінійною, якщо вона безперервна і задовольняє рівності
L ( x'' + х'''' ) = L ( x'' ) + L ( x'''' )
для будь-яких х'' і х'''' з області визначення. Лінійна функція n -мерного аргументу х = { x 1 ..., x n } завжди має вигляд
L ( x ) = a 1 x 1 +... + a n x n ,
де а 1 ..., a n — постійні. Приріст
D L = L ( x + h ) - L ( x )
лінійної функції L ( x ) має вигляд
D L = L ( h ),
тобто залежить лише від векторного приросту h , і притому лінійно. Функція f ( x ) називається такою, що диференціюється при значенні аргументу х , якщо її приріст D f = f ( x + h ) - f ( x ), що розглядається як функція від h , має головну лінійну частину L ( h ), тобто виражається у вигляді
D f = L ( h ) + R ( h ),
де залишок R ( h ) при h ® 0 нескінченно малий в порівнянні з h . Головна лінійна частина L ( h ) приросту D f і називається диференціалом df функції f в точці x . При цьому залежно від того, в якому сенсі розуміється безконечна крихта R ( h ) в порівнянні з h , розрізняють слабкий диференціал, або диференціал Гато, і сильний диференціал, або диференціал Фреше. Якщо існує сильний Д., то існує і слабкий Д., рівний сильному Д. Слабий Д. може існувати і тоді, коли сильний не існує.
В разі f ( x ) º x із загального визначення виходить, що df = h , тобто можна приріст h рахувати Д. аргументу x і позначати dx.
Якщо зробити тепер змінною точку x , в якій визначається Д. df , то він буде функцією два змінних:
df ( x ; h ).
Далі, рахуючи h = h 1 постійним, можна знайти Д. від диференціала df ( x ; h 1 ) як головну частину приросту
df ( x + h 2 ; h 1 ) — df ( x ; h 1 ),
де h 2 — деяке друге, не пов'язане з h 1 приріст x . Отримуваний таким чином другий диференціал d 2 f = d 2 f ( x ; h 1 , h 2 ) є функцією трьох векторних аргументів x , h 1 і h 2 , лінійною по кожному з двох останніх аргументів. Якщо d 2 f безперервно залежить від x , то він симетричний відносно h 1 і h 2 :
d 2 f ( x ; h 1 , h 2 ) = d 2 f ( x ; h 2 , h 1 ).
Аналогічно визначається диференціал d n f = d n f ( x ; h 1 ..., h n ) будь-якого порядку n .
У варіаційному численні сам векторний аргумент x є функцією x ( t ), а диференціали df і d 2 f функціонала f [ x ( t )] називаються його першою і другою варіаціями і позначаються d f і d 2 f .
Усюди вище йшлося про узагальнення поняття Д. на числові функції векторного аргументу. Існує узагальнення поняття Д. і на випадок вектор-функцій, що набувають значень в Банахових просторах.
Літ.: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 2 видавництва, М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомін С. Ст, Елементи теорії функцій і функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1968; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, т. 1, М., 1970; Рудін В., Основи математичного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966; Дьєдоне Ж., Основи сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1964.
