Похідна, основне поняття диференціального числення, що характеризує швидкість зміни функції; П. є функція, визначувана для кожного х як межа відношення:, якщо він існує. Функцію, що має П., називають такою, що диференціюється.
Всяка функція, що диференціюється, безперервна; зворотне твердження невірне: існують навіть безперервні функції, що не мають П. ні в одній крапці (див. Безперервна функція ). Для функцій дійсного змінного сама П. може бути такою, що не диференціюється і навіть розривною. У комплексної ж області існування першої П. вабить існування П. всіх порядків. Про П. функцій багатьох змінних (приватна П.), а також про правила знаходження П. і різні додатки див.(дивися) в ст. Диференціальне числення .
В теорії функцій дійсного змінного вивчаються, зокрема, функціональні властивості П. і різні узагальнення поняття «П.». Та, що так, наприклад, усюди існує П. відноситься до функцій першого класу по Бера класифікації ; П. (навіть якщо вона розривна) набуває всіх проміжних значень між найменшим і найбільшим. З різних узагальнень поняття «П.» найбільш істотні наступні.
Похідні числа. Верхнім правим похідним числом D d називають верхню межу відношення при , де x 1 > х. Аналогічно визначають нижнє праве l d , верхнє D s і ніжнєє l s ліві похідні числа. Якщо D d = l d (D = l s ), то f ( x ) має в точці х однобічну праву (ліву) П. Обикновенная П. існує, якщо все чотири похідних числа кінцеві і збігаються. Похідні числа були введені італ.(італійський) математиком У. Діні (1878). Як показав Н. Н. Лузін (1915), якщо все чотири похідних числа кінцеві на деякій безлічі, то функція має звичайну П. усюди на цій безлічі, окрім точок безлічі заходи нуль (див. Міра безлічі ).
Асимптотична (або апроксимативна) похідна була введена А. Я. Хинчиним (1916). Асимптотичною П. називається межа відношення, коли x 1 ® x пробігаючи точки безлічі, для якої х є щільність точкою .
