Функций теория, раздел математики, в котором изучаются общие свойства функций. Ф. т. распадается на две части: теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного.
В «классическом» математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции, заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа — предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т.п.). Однако эти факты воспринимались обычно как «исключения из правил» и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории, стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного переменного.
Можно различить три направления в Ф. т. действительного переменного.
1) Метрическая Ф. т., где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества) тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической Ф. т. с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл, Дифференциал, Производная), различными способами обобщается понятие сходимости функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической Ф. т., являются измеримые функции.
2) Дескриптивная Ф. т., в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств (см. Приближение и интерполирование функций).
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
