Функціональні рівняння, вельми загальний клас рівнянь, в яких шуканою є деяка функція. ДО Ф. в. по суті відносяться диференціальні рівняння, інтегральні рівняння, рівняння в кінцевих різницях (див. Кінцевих різниць числення ); слідує, проте, відзначити, що назва «Ф. у.» зазвичай не відносять до рівнянь цих типів. Під Ф. в. у вузькому сенсі слова розуміють рівняння, в яких шукані функції пов'язані з відомими функціями одного або декількох змінних за допомогою операції утворення складної функції. Ф. в. можна також розглядати як вираження властивості, що характеризує той або інший клас функцій [наприклад, Ф. в. ( x ) = f (— x ) характеризує клас парних функцій, Ф. в. f ( x + 1) = f ( x ) — клас функцій, що мають період 1, і т.д.].
Одним з простих Ф. в. є рівняння f ( x + в ) = f ( x ) + f ( в ). Безперервні вирішення цього Ф. в. мають вигляд f ( x ) = Cx . Проте в класі розривних функцій це Ф. в. має і інші рішення. З розглянутим Ф. в. зв'язані
f ( x + в ) = f ( x ) f ( в ), f ( xy ) — f ( x ) + f ( в ),
f ( xy ) = f ( x ) f ( в ),
безперервні вирішення яких мають відповідно вигляд e Cx , C ln x , x а ( x > 0). Т. о., ці Ф. в. можуть служити для визначення показової, логарифмічної і статечної функцій.
В теорії аналітичних функцій Ф. в. часто застосовуються для введення нових класів функцій. Наприклад, двоякоперіодичні функції характеризуються Ф. в. f ( z + а ) = f ( z ) і f ( z + b ) = f ( z ), автоморфні функції — Ф. в. f ( s а z ) = f ( z ), де { s а } — деяка група лінійних для дробу перетворень. Якщо функція відома в деякій області, то знання для неї Ф. в. дозволяє розширити область визначення цій функції. Наприклад, Ф. в . f ( x + 1) = f ( x ) для періодичних функцій дозволяє визначити їх значення в будь-якій крапці по значеннях на відрізку [0, 1]. Цим часто користуються для аналітичного продовження функцій комплексного змінного. Наприклад, користуючись Ф. в. Г ( z + 1) = z Г ( z ) і знаючи значення функції Г ( z ) (див. Гамма-функція ) у смузі 0 £ Re z £ 1, можна продовжити її на всю плоскість z .
Умови симетрії, наявні в якому-небудь фізичному завданні, обумовлюють певні закони перетворення рішень цієї задачі при тих або інших перетвореннях координат. Цим визначаються Ф. в., яким повинно задовольняти рішення даної задачі. Значення відповідних Ф. в. у багатьох випадках полегшує знаходження рішень.
Вирішення Ф. в. можуть бути як конкретними функціями, так і класами функцій, залежними від довільних параметрів або довільних функцій. Для деяких Ф. в. загальне рішення може бути знайдене, якщо відомі одне або декілька його приватних рішень. Наприклад, загальне вирішення Ф. в. f ( x ) = f ( ах ) має вигляд j[w( x )], де j( x ) — довільна функція, а w( x ) — приватне вирішення цього Ф. в. Для вирішення Ф. в. їх у багатьох випадках зводять до диференціальних рівнянь. Цей метод дає лише рішення, що належать класу функцій, що диференціюються.
Іншим методом вирішення Ф. в. є метод ітерацій . Цей метод дає, наприклад, вирішення рівняння Абеля f [а( x )] = f ( x ) + 1 [де а( x ) — задана функція] і пов'язаного з ним рівняння Шредера f [а( x )] = cf ( x ). А. Н. Коркин довів, що якщо а( х ) — аналітична функція, то рівняння Абеля має аналітичне рішення. Ці результати, що знайшли вживання в теорії груп Лі (див. Безперервні групи ), привели надалі до створення теорії ітерацій аналітичних функцій. В деяких випадках рівняння Абеля вирішується в кінцевому вигляді. Наприклад, Ф. в. f ( x n ) = f ( x ) + 1 має приватне рішення .
Літ.: Ацель Я., Деякі загальні методи в теорії функціональних рівнянь однієї змінної. Нові вживання функціональних рівнянь, «Успіхи математичних наук», 1956, т. 11, ст 3, с. 3—68.
