Кінцевих різниць числення, розділ математики, в якому вивчаються функції при дискретній (переривчастому) зміні аргументу, на відміну від диференціального числення і інтегрального числення, де аргумент передбачається таким, що безперервно змінюється. Кінцевими різницями «вперед» для послідовності значень y 1 = f (x 1 ), y 2 = f (x 2 )..., y до = f (x до )... функції f (x), відповідних послідовності значень аргументу x 0 ..., x до ... ( x до = х 0 + kh, h — постійне, до — ціле), називають вирази:
D y до º D f (x до ) = f (x k+1 ) - f (x до )
(різниці 1-го порядку),
D 2 y до º D 2 f (x до ) = D f (x k+1 ) - D f (x до ) = f (x k+2 )-2f (x k+1 ) + f (x до )
(різниці 2-го порядку),
D n y до º D n f (x до ) = D n-1 f (x k+1 ) - D n-1 f (x до )
(різниці n-го порядку).
Відповідно, кінцеві різниці «назад» D n y до визначаються рівністю
D n y до = D n y до + n .
При інтерполяції часто користуються т.з. центральними різницями d n в , які обчислюються при непарному n в точках х = x i + 1 l 2 h, а при парному n в точках х = x i по формулах
df (x i + 1 / 2 h) º dy i+1/2 = f (x i+1 ) - f (x i ),
d 2 f (x i ) º d 2 y i = dy i+1/2 ,
d 2m-1 f (x i + 1 / 2 h) º d 2т— 1yi +1/2 = d 2т— 2yi +1 -d 2т— 2yi ,
d 2m f (x i ) º d 2т у i = d 2т— 1yi +1/2 - d 2т— 1yi -1/2
Вони доповнюються середніми арифметичними
,
,
де m = 1,2...; якщо m = 0, то вважають
.
Центральні різниці d n в пов'язані з кінцевими різницями D n в співвідношеннями
d 2т у i = D 2т у i-m ,
d 2т+ 1yi +1/2 = D 2m+1 y i-m
Якщо значення аргументу не складають арифметичної прогресії, тобто x k+1 - x до не тотожне постійна, то замість кінцевих різниць користуються розділеними різницями, послідовно визначуваними по формулах
....................
.
Зв'язок між кінцевими різницями і похідними встановлюється формулою D n y до = f (n) (), где x до ££x k+n . Існує повна аналогія між роллю кінцевих різниць в теорії функцій дискретного аргументу і роллю похідних в теорії функцій безперервного аргументу; кінцеві різниці є зручним апаратом при побудові ряду розділів чисельного аналізу: інтерполяція функцій, чисельне диференціювання і інтеграція, чисельні методи вирішення диференціальних рівнянь.
Наприклад, для наближеного вирішення диференціального рівняння (звичайного або з приватними похідними) часто замінюють ті, що входять в нього похідні відповідними різницями, що діляться на мірі різниць аргументів, і вирішують отримане в такий спосіб різницеве рівняння (одновимірне або багатовимірне).
Важливий розділ До. р. і. присвячений вирішенню різницевих рівнянь вигляду
F [x(f (x)..., D n f (x)] = 0 (1)
завданню, багато в чому схожому з вирішенням диференціальних рівнянь n, - го порядку. Звичайне рівняння (1) записують у вигляді
Ф [х, f (x), f (x 1 )..., f (x n ) ] = 0,
виражаючи різниці через відповідні значення функції. Особливо простий випадок представляє лінійне однорідне рівняння з постійними коефіцієнтами:
f (x+n) + a 1 f (x+n-1) +... + a n f (x) = 0,
де a 1 ..., a n — постійні числа. Щоб вирішити таке рівняння, знаходить коріння l 1 , l 2 ... l n його характеристичного рівняння
l n + a 1 l n-1 +...+a n = 0.
Тоді загальне вирішення даного рівняння представиться у вигляді
f (x) = С 1 l 1 х + C 2 l 2 x +... + C n l n x ,
где C 1 , C 2 ..., C n — довільні постійні (тут передбачається, що серед чисел l 1 , l 2 ..., l n немає рівних).
Літ.: Березін І. С., Жідков Н. П., Методи обчислень, 3 видавництва, т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Числення кінцевих різниць, 3 видавництва, М., 1967.
