Конечных разностей исчисление

Конечных разностей исчисление, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y₁= f (x₁), y₂ = f (x₂),..., y_k = f (x_k),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x₀,..., x_k,,... (x_k = х₀ + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Dy_k º Df (x_k) = f (x_k+1) - f (x_k)

(разности 1-го порядка),

D²y_k º D²f (x_k) = Df (x_k+1)- Df (x_k) = f (x_k+2)-2f (x_k+1) + f (x_k)

(разности 2-го порядка),

Dⁿy_k º Dⁿf (x_k) = D^n-1f (x_k+1) - D^n-1f (x_k)

(разности n-го порядка).

  Соответственно, конечные разности «назад» Dⁿy_к определяются равенствами

Dⁿy_к = Dⁿy_{к + n}.

  При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dⁿy, которые вычисляются при нечётном n в точках х = x_i+¹l₂h, а при чётном n в точках х = x_i по формулам

df (x_i + ¹/₂h) º dy_i+1/2 = f (x_i+1) - f (x_i),

d²f (x_i) º d²y_i = dy_i+1/2,

d^2m-1f (x_i + ¹/₂h) º d^2т—1yi_+1/2 = d^2т—2yi₊₁-d^2т—2yi,

d^2mf (x_i) º d^2ту_i = d^2т—1yi_+1/2 - d^2т—1yi_-1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

  где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

  Центральные разности dⁿy связаны с конечными разностями Dⁿy соотношениями

d^2ту_i = D^2ту_i-m,

d^2т+1yi_+1/2 =  D^2m+1y_i-m

  Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x_k+1 - x_k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

  Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dⁿy_k = f ⁽ⁿ⁾(), где x_k££x_k+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

  Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

  Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),...,Dⁿf (x)] = 0           (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x₁),..., f (x_n)] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a₁f (x+n-1) +... + a_nf (x) = 0,

где a₁,..., a_n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l₁, l₂,... l_n его характеристического уравнения

lⁿ + a₁l^n-1+...+a_n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С₁l₁^х + C₂l₂^x +... + C_nl_n^x,

  где C₁, C₂,..., C_n — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l₁, l₂,..., l_n нет равных).

  Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

  Под редакцией Н. С. Бахвалова.