Нерівності (матем.)
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Нерівності (матем.)

Нерівності (математичні), співвідношення між числами або величинами, вказуючі, які з них більше інших. Для позначення Н. уживається знак <, обернений вістрям до меншого числа. Так, співвідношення 2 > 1 і 1 < 2 виражає одне і те ж, а саме: 2 більше 1, або 1 менше 2. Інколи декілька Н. записуються разом (наприклад, а < b < з). Бажаючи виразити, що з двох чисел а і b перше або більше другого, або дорівнює йому, пишуть: а ³ b (або b £ а) і читають: «а більше або рівне b » (або « b менше або рівне а ») або коротше: « а не менше b » (або « b не більше а »). Запис а ¹ b означає, що числа а і b не рівні, але не вказує, яке з них більше. Всі ці співвідношення також називаються Н.

  Н. володіють багатьма властивостями, загальними з рівністю. Так, Н. залишається справедливим, якщо до обох частин його додати (або від обох частин відняти) одне і те ж число. Так само можна умножати обидві частини Н. на одне і те ж позитивне число. Проте якщо обидві частини Н. помножити на негативне число, то сенс Н. зміниться на зворотний (тобто знак > замінюється на <, а < на >). З нерівності А < У і З < D слідує А + З < В + D і А - D < В - З, т. е . однойменні Н. ( А < В і З < D ) можна почленно складати, а різнойменні Н. ( А < У і D > З) — почленно віднімати. Якщо числа А, В, З і D позитивні, то з нерівностей А < У і З < D слідує також AC < BD і A/d < В/С, тобто однойменні Н. (між позитивними числами) можна почленно перемножувати, а різнойменні — почленно ділити.

  Н., у яких входять величини, що набувають різних числових значень, можуть бути вірні для одних значень цих величин і невірні для інших. Так, нерівність x 2 4 x + 3 > 0 вірно при х = 4 і невірно при х = 2. Для Н. цього типа виникає питання про їх рішення, тобто про визначення кордонів, в яких слід брати що входять в Н. величини для того, щоб Н. були справедливі. Так, переписуючи нерівність x 2 4 x + 3 > 0 у вигляді: ( х — 1)( х — 3) > 0, помічають, що воно буде вірне для всіх х, що задовольняють одній з наступних нерівностей: х < 1, х > 3, які і є вирішенням даного Н.

  Вкажемо декілька типів Н., що виконуються тотожно в тій або іншій області зміни що входять в них змінних.

1)   Нерівність для модулів. Для будь-яких дійсних або комплексних чисел a 1 , a 2 ..., a n справедливо Н.

|a 1 + a 2 + . + a n I £ I a 1 | + I а 2 I +... + I a n | .

  2) Нерівність для середніх. Найбільш відомі Н., зв'язуючі гармонійні, геометричні, арифметичні і квадратичні середні:

  3) Лінійні нерівності. Розглядається система Н. Віда

a i1 x 1 + a i2 x 2 +... + a in x n ( b i ³ i = 1, 2..., m ) .

  Сукупність вирішень цієї системи Н. є деяким опуклим многогранником в n -мepном просторі ( x 1 , x 2 ..., x n ) ; завдання теорії лінійних Н. полягає в тому, щоб вивчити властивості цього многогранника. Деякі питання теорії лінійних Н. тісно пов'язані з теорією найкращих наближень, створеною П. Л. Чебишевим .

  Див. також Бесселя нерівність, Буняковського нерівність, Гельдера нерівність, Коші нерівність, Мінковського нерівність .

  Н. мають істотне значення для всіх розділів математики. У теорії чисел цілий розділ цієї дисципліни — діофантови наближення повністю заснований на Н.; аналітична теорія чисел теж часто оперує з Н. У алгебрі дається аксіоматичне обгрунтування Н.; лінійні Н. грають велику роль в теорії лінійного програмування . В геометрії Н. постійно зустрічаються в теорії опуклих тіл і в ізопериметричних завданнях . В теорії вірогідності багато законів формулюються за допомогою Н. (див., наприклад, Чебишева нерівність ) . В теорії диференціальних рівнянь використовуються так звані диференціальні Н. (див., наприклад, Чаплигина метод ) . В теорії функцій постійно уживаються різні Н. для похідних від многочленів і тригонометричних поліномів. У функціональному аналізі при визначенні норми у функціональному просторі потрібний, щоб вона задовольняла Н. трикутника

|| х + в || £ || x || + || в ||.

  Багато класичні Н. по суті визначають значення норми лінійного функціонала або лінійного оператора в тому або іншому просторі або дають оцінки для них.

  Літ.: Коровкин П. П., Нерівності, 3 видавництва, М., 1966; Харді Р. Р., Літтльвуд Дж. Е., Поліа Р., Нерівності, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948.