Діофантови наближення, частина теорії чисел, що вивчає наближення дійсних чисел раціональними числами, або, при ширшому розумінні предмету, питання, пов'язані з рішенням в цілих числах лінійних і нелінійних нерівностей або систем нерівностей з дійсними коефіцієнтами. Д. п. названі по імені старогрецького математика Діофанту, який займався завданням вирішення рівнянь алгебри в цілих числах — так званих діофантових рівнянь . Методи теорії Д. п. засновані на вживанні безперервних дробів, Фарея рядів і Дирихле принципу .
Завдання про наближення одного числа раціональними дробами вирішується за допомогою всіх цих трьох методів і особливо із застосуванням безперервних дробів. Наближення дійсного числа а відповідними дробами p до lq до розкладання а в безперервний дріб характеризується нерівністю |a — p до /q до | < 1/ q до 2 ; з іншого боку, якщо нескоротний дріб a/b задовольняє нерівності |a — а/b | < 1/2 b 2 , то вона є відповідним дробом розкладання а в безперервний дріб. Глибокі дослідження про наближення дійсних чисел а раціональними дробами належать А. А. Маркова (старшому). Існує багато розширень завдання про наближення числа раціональними дробами; до них перш за все відноситься завдання про вивчення виразів x q — в — а, де q і а — деякі дійсні числа, а х і в набувають цілих значень (так зване неоднорідне одновимірне завдання). Перші результати в рішенні цієї задачі належать П. Л. Чебишеву . Серед всіляких теорем про наближене рішення в цілих числах систем лінійних рівнянь (багатовимірні завдання Д. п.) особливо відома теорема що належить Л. Кронекеру : якщо a 1 ..., a n — дійсні числа, для яких рівність а 1 a 1 +...+ a n a n = 0 з цілими a 1 ..., a n можливо лише при a 1 =... = a n = 0, а b 1 ..., b n — деякі дійсні числа, то при будь-якому заданому e > 0 можна знайти число t і такі цілі числа х 1 ..., x n , що виконуються нерівності | t a до - b до - x до | < e, до = 1,2..., n . Для вирішення багатовимірних завдань Д. п. вельми плідним є принцип Дирихле. Методи, засновані на принципі Дирихле, дозволили А. Я. Хинчину і ін. ученим побудувати систематичну теорію багатовимірних Д. п. Для теорії Д. п. важливе значення має зв'язок з геометрією, заснована на тому, що систему лінійних форм з дійсними коефіцієнтами можна змалювати як грати в n -мepном арифметичному просторі. В кінці 19 ст Р. Мінковський довів ряд геометричних теорем, що мають додатки в теорії Д. п.
В питаннях нелінійних Д. п. чудові результати отримав І. М. Винограду . Створені ним методи займають центральне місце в цій області теорії чисел. Одному з найважливіших завдань теорії Д. п. є проблема наближення чисел алгебри раціональними.
До Д. п. відноситься теорія трансцендентних чисел, в якій знаходять оцінки для модулів лінійних форм і многочленів від одного і декількох чисел з цілими коефіцієнтами. Теорія Д. п. тісно пов'язана з вирішенням діофантових рівнянь і з різними завданнями аналітичної теорії чисел.
Літ.: Винограду І. М., Метод тригонометричних сум в теорії чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Наближення чисел алгебри числами алгебри ж і теорія трансцендентних чисел, «Успіхи математичних наук», 1949, т. 4, ст 4; Фельдман Н. І., Шидловський А. Б., Розвиток і сучасний стан теорії трансцендентних чисел, там же, 1967, т. 22, ст 3; Хинчин А. Я., Ланцюгові дроби, 3 видавництва, М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.
