Опукле тіло, геометричне тіло, що володіє тією властивістю, що що сполучає дві його будь-які крапки відрізок міститься в нім цілком. На мал. тіло а опукло, а тело б не опукло. Куля, куб, кульовий сегмент, напівпростір — приклади Ст т. Будь-яка зв'язна частина кордону (див. Зв'язна безліч ) Ст т. називається опуклою поверхнею. Через кожну точку кордону Ст т. проходіт принаймні одна опорна плоскість, що має загальну крапку (або відрізок, або частина плоскості) з кордоном тіла, але що не розтинає його (плоскість Р на мал. а). У крапках, де кордон Ст т. — гладка поверхня, опорна плоскість буде дотичною. У тих крапках, де гладкість порушується (наприклад, у вершині куба), можна провести нескінченно багато опорної плоскості. Ст т. можуть бути п'яти типів: кінцеві (кордон — замкнута опукла поверхня), безконечні (кордон — одна безконечна поверхня; наприклад, Ст т., обмежене параболоїдом), безконечні в обидві сторони циліндри (кордон — замкнута опукла циліндрова поверхня; наприклад безконечний круговий циліндр), шари між парами паралельної плоскості, весь простір. Ст т. можуть бути задані за допомогою опорної функції, що виражає відстань від початку координат до опорної плоскості як функцію від зовнішньої нормалі к В. т. (тобто одиничного вектора, перпендикулярного опорній плоскості і направленого у бік того з двох напівпросторів, визначуваних цією плоскістю, в якій немає точок Ст т.).
Простими Ст т. є опуклі многогранники — Ст т., обмежені кінцевим числом багатокутників. Для будь-якого кінцевого Ст т. можна побудувати як завгодно близькі до нього опуклі многогранники. Це дозволяє вирішувати багато завдань про Ст т. таким чином: завдання вирішується для опуклих многогранників, а потім шляхом граничного переходу відповідний результат обгрунтовується і для будь-якого Ст т. Так, наприклад, визначаються площі опуклих поверхонь і об'єми будь-яких Ст т. Зокрема, встановлюється, що якщо одне кінцеве Ст т. охоплює інше, то площа поверхні першого більше площі поверхні другого. Описаний метод був глибоко розроблений А. Д. Александровим і застосований для вирішення всіляких нових завдань теорії Ст т.
Загальна теорія Ст т. і опуклих поверхонь складає так звану геометрію Ст т. Завдання геометрії Ст т. охоплюють широкий круг питань: загальні властивості Ст т. (теореми про опорну плоскість, класифікація Ст т., наближення многогранниками), екстремальні властивості Ст т. (наприклад, куля серед всіх Ст т. із заданим об'ємом має мінімальну поверхню), теореми про існування і єдиність Ст т. із заданими властивостями (наприклад, теорема про існування опуклого многогранника з даними напрямами і площами граней), властивості різних класів Ст т. (наприклад, тіл постійної ширини), загальні властивості опуклих поверхонь, теореми існування і єдиності для опуклих поверхонь, внутрішня геометрія про опуклих поверхонь і т.д. Поняття Ст т. природно виникає в геометрії просторів постійної кривизни. Багато перерахованих вище завдань формулюються і вирішуються для Ст т. в таких просторах. Методи і результати теорії Ст т. використовуються в різних розділах математики: у геометрії, в теорії чисел, в математичному аналізі. Основи теорії Ст т. були закладені в кінці 19 ст німецьким математиками Г. Брунном і Г. Мінковським. Найважливіші нові результати цієї теорії були отримані радянськими математиками А. Д. Александровим і А. Ст Погореловим.
Літ.: Александров А. Д., Внутрішня геометрія опуклих поверхонь, М. — Л., 1948; його ж, Опуклі многогранники, М. — Л., 1950; Погорелов А. Ст, Зовнішня геометрія опуклих поверхонь, М., 1969.
