Симетрія (від греч.(грецький) symmetria — відповідність) в математиці,
1) симетрія (у вузькому сенсі), або віддзеркалення (дзеркальне) відносно плоскості а в просторі (відносно прямий а на плоскості), — перетворення простору (плоскість), при якому кожна точка М-коду переходить в точку M'' таку, що відрізок MM'' перпендикулярний плоскості а (прямій а ) і ділиться нею навпіл. Плоскість а (пряма а ) називається плоскістю (віссю) С.
Віддзеркалення — приклад ортогонального перетворення, що змінює орієнтацію (на відміну від власного руху). Будь-яке ортогональне перетворення можна здійснити послідовним виконанням кінцевого числа віддзеркалень — цей факт грає істотну роль в дослідженні С. геометричних фігур.
2) Симетрія (у широкому сенсі) — властивість геометричної фігури Ф , що характеризує деяку правильність форми Ф , незмінність її при дії рухів і віддзеркалень. Точніше, фігура Ф володіє С. (симетрична), якщо існує нетотожне ортогональне перетворення, що переводить цю фігуру в себе. Сукупність всіх ортогональних перетворень, що поєднують фігуру Ф з самою собою, є групою, званою групою симетрії цієї фігури (інколи самі ці перетворення називаються симетріями).
Так, плоска фігура, що перетворюється в себе при віддзеркаленні, симетрична відносно прямою — осі С. ( мал. 1 ); тут група симетрії складається з двох елементів. Якщо фігура Ф на плоскості така, що повороти відносно якої-небудь крапки Про на кут 360°/ n , n — ціле число ³ 2, переводять її в себе, то Ф володіє С. n -го порядку відносно точки Про — центру С. Прімером таких фігур є правильні багатокутники ( мал. 2 ); група С. тут — т.з. циклічна група n -го порядку. Коло володіє С. безконечного порядку (оскільки поєднується з собою поворотом на будь-який кут).
Простими видами просторової С., окрім С., породженою віддзеркаленнями, є центральна С., осьова С. і С. перенесення.
а) В разі центральної симетрії (інверсії) відносно крапки Про фігура Ф поєднується сама з собою після послідовних віддзеркалень від трьох взаємно перпендикулярної плоскості, іншими словами, крапка Про — середина відрізання, що сполучає симетричні точки Ф ( мал. 3 ). би) В разі осьової симетрії, або С. відносно прямий n -го порядку, фігура накладається на себе обертанням довкола деякої прямої (осі С.) на кут 360°/ n . Наприклад, куб має пряму AB віссю С. третього порядку, а пряму CD — віссю С. четвертого порядку ( мал. 3 ); взагалі, правильні і напівправильні многогранники симетричні відносно ряду прямих. Розташування, кількість і порядок осей С. грають важливу роль в кристалографії (див. Симетрія кристалів ), в) Фігура, що накладається на себе послідовним обертанням на кут 360°/2 до довкола прямий AB і віддзеркаленням в плоскості, перпендикулярній до неї, має дзеркально-осьову С. Прямая AB , називається дзеркально-поворотною віссю С. порядку 2 до , є віссю С. порядку до ( мал. 4 ). Дзеркально-осьова С. порядка 2 рівносильна центральною С. г) В разі симетрії перенесення фігура накладається на себе перенесенням уздовж деякої прямої (осі перенесення) на який-небудь відрізок. Наприклад, фігура з єдиною віссю перенесення володіє безконечною безліччю плоскості С. (оскільки будь-яке перенесення можна здійснити двома послідовними віддзеркаленнями від плоскості, перпендикулярної осі перенесення) ( мал. 5 ). Фігури, декілька осей перенесення, що мають грають важливу роль при дослідженні кристалічних решіток .
В мистецтві С. набула поширення як один з видів гармонійною композиції . Вона властива творам архітектури (будучи неодмінною якістю якщо не всієї споруди в цілому, то його частин і деталей — плану, фасаду, колон, капітелей і т. д.) і декоративно-прикладного мистецтва. С. використовується також як основний прийом побудови бордюрів і орнаментів (плоских фігур, що володіють відповідно однією або декількома С. перенесення у поєднанні з віддзеркаленнями) ( мал. 6 , 7 ).
Комбінації С., породжені віддзеркаленнями і обертаннями (вичерпні всі види С. геометричних фігур), а також перенесеннями, представляють інтерес і є предметом дослідження в різних областях природознавства. Наприклад, гвинтова С., здійснювана поворотом на деякий кут довкола осі, доповненим перенесенням уздовж тієї ж осі, спостерігається в розташуванні листя в рослин ( мал. 8 ) (детальніше за див.(дивися) в ст. Симетрія в біології). С. конфігурації молекул, що позначається на їх фізичних і хімічних характеристиках, має значення при теоретичному аналізі будови з'єднань, їх властивостей і поведінки в різних реакціях (див. Симетрія в хімії). Нарешті, у фізичних науках взагалі, окрім вже вказаною геометричною С. кристалів і грат, набувають важливого значення представлення о С. у загальному сенсі (див. нижчий). Так симетричність фізичного простору-часу, що виражається в його однорідності і ізотропній (див. Відносності теорія ), дозволяє встановити т.з. збереження закони ; узагальнена С. грає істотну роль в утворенні атомних спектрів і в класифікації елементарних часток (див. Симетрія у фізиці).
3) Симетрія (у загальному сенсі) означає інваріантність структури математичного (або фізичного) об'єкту відносно його перетворень. Наприклад, С. законів теорії відносності визначається інваріантністю їх відносно Лоренца перетворень . Визначення сукупності перетворень, що залишають без зміни все структурні співвідношення об'єкту, тобто визначення групи G його автоморфізму, стало керівним принципом сучасної математики і фізики, що дозволяє глибоко проникнути у внутрішню будову об'єкту в цілому і його частин.
Оскільки такий об'єкт можна представити елементами деякого простору Р , наділеного відповідною характерною для нього структурою, остільки перетворення об'єкту є перетвореннями Р . Т. о. виходить представлення групи G в групі перетворень Р (або просто в Р ), а дослідження С. об'єкту зводиться до дослідження дії G на Р і відшуканню інваріантів цієї дії. Так само С. фізичних законів, керівників досліджуваним об'єктом і що зазвичай описуються рівняннями, яким задовольняють елементи простору Р , визначається дією G на такі рівняння.
Так, наприклад, якщо деяке рівняння лінійне на лінійному ж просторі Р і залишається інваріантним при перетвореннях деякої групи G , то кожному елементу g з G відповідає лінійне перетворення T g в лінійному просторі R вирішень цього рівняння. Відповідність g ® T g є лінійним представленням G і знання всіх таких її вистав дозволяє встановлювати різні властивості рішень, а також допомагає знаходити у багатьох випадках (з «міркувань симетрії») і самі рішення. Цим, зокрема, пояснюється необхідність для математики і фізики розвиненої теорії лінійних представлень груп. Конкретні приклади див.(дивися) в ст. Симетрія у фізиці.
Літ.: Кожухарів А. Ст, Симетрія. (Закони симетрії і їх вживання в науці, техніці і прикладному мистецтві), М. — Л., 1940; Кокстер Р. С. М., Введення, в геометрію пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966; Вейль Р., Симетрія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968; Вігнер Е., Етюди про симетрію, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1971.
