Симетрія кристалів
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Симетрія кристалів

Симетрія кристалів, свойство кристалів поєднуватися з собою в різних положеннях шляхом поворотів, віддзеркалень, паралельних перенесень або частини або комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (ограновування) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фізичних властивостей кристала.

загрузка...

  На мал.(малюнок) 1 , а змальований кристал кварцу . Зовнішня його форма така, що поворотом на 120° довкола осі 3 він може бути поєднаний сам з собою (сумісна рівність). Кристал метасилікату натрію ( мал. 1 , би) перетвориться в себе віддзеркаленням в плоскості симетрії m (дзеркальна рівність). Т. о., симетрія означає можливість перетворення об'єкту що поєднує його з собою. Якщо F ( x 1 , x 2 , x 3 ) — функція, що описує об'єкт, наприклад форму кристала в тривимірному просторі або яке-небудь його властивість, а операція g [ x 1 , x 2 , x 3 ] здійснює перетворення координат всіх точок об'єкту, то g є операцією або перетворенням симетрії, а F — симетричним об'єктом, якщо виконуються умови:

g [ x 1 . x 2 , x 3 ] =        (1, а )

F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = F ( x 2 , x 2 , x 3 ).     (1, би )

  В найбільш загальному формулюванню симетрія — незмінність (інваріантність) об'єктів при деяких перетвореннях їх змінних, що описують. Кристали — об'єкти в тривимірному просторі, тому класична теорія С. до. — теорія симетричних перетворень в себе тривимірного простору з урахуванням того, що внутрішня атомна структура кристалів — тривимірно-періодична, тобто описується як кристалічна решітка . При перетвореннях симетрії простір не деформується, а перетвориться як жорстке ціле (ортогональне, або ізометричне, перетворення). Після перетворення симетрії частини об'єкту, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в ін. місці. Це означає, що в симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні або дзеркальні).

  С. до. виявляється не лише в їх структурі і властивостях в реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетичного спектру електронів кристала в імпульсному просторі (див. Тверде тіло ), при аналізі процесів дифракція рентгенівських променів в кристалах за допомогою простору зворотних довжин і т. п.

  Група симетрії кристалів. Кристалу може бути властива не одна, а декілька операцій симетрії. Так, кристал кварцу ( мал. 1 , а) поєднується з собою нс лише при повороті на 120° довкола осі 3 (операція g 1 ), ний при повороті довкола осі 3 на 240° (операція g 2 ), а також при поворотах на 180° довкола осей 2 x , 2 в , 2 w (операції g 3 , g 4 і g 5 ). Кожній операції симетрії може бути зіставлений геометричний образ — елемент симетрії — пряма, плоскість або крапка, відносно якої виробляється дана операція. Наприклад, вісь 3 або осі 2 x , 2 в , 2 w є осями симетрії, плоскість m ( мал. 1 , би) — плоскістю дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії [ g 1 ..., g n ] даного кристала утворює групу симетрії G в сенсі математичної теорії груп . Послідовне проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. Завжди існує операція ідентичності g 0 , нічого що не змінює в кристалі, називається ототожненням, геометрично відповідна нерухомості об'єкту або повороту його на 360° довкола будь-якої осі. Число операцій, створюючих групу G , називається порядком групи.

  Групи симетрії класифікують: по числу n вимірів простори, в яких вони визначені; по числу т вимірів простори, в яких об'єкт періодичний (їх відповідно позначають G m n ) і по деяких іншим ознакам. Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких найважливішими є просторові групи симетрії G 3 3 , що описують атомну структуру кристалів, і точкові групи симетрії G 0 3 , що описують їх зовнішню форму. Останні називаються також кристалографічними класами.

  Симетрія ограновування кристалів. Операціями точкової симетрії є: повороти довкола осі симетрії порядку N на 360°/ N ( мал. 2 , а), віддзеркалення в плоскості симетрії (дзеркальне віддзеркалення, мал. 2 , би), інверсія (симетрія відносно крапки, мал. 2 , в), інверсійні повороти  (комбінація повороту на 360°/ N з одночасною інверсією, мал. 2 , г). Замість інверсійних поворотів інколи розглядають дзеркальні повороти . Геометрично можливі поєднання цих операцій визначають ту або іншу точкову групу ( мал. 3 ), які зображаються зазвичай в стереографічній проекції. При перетвореннях точкової симетрії принаймні одна точка об'єкту залишається нерухомою — перетвориться сама в себе. У ній перетинаються всі елементи симетрії, і вона є центром стереографічної проекції.

  Точкові перетворення симетрії g [ x 1 , x 2 , x 3 ] =  описуються лінійними рівняннями:

x'' 1 = а 11 х 1 + а 12 x 2 + а 13 x 3 ,

x'' 2 = а 21 x 1 + а 22 x 2 + а 23 x 3 ,     (2)

x'' 3 = а 31 x 1 + а 32 x 2 + а 33 x 3

тобто матрицею коефіцієнта ( а ij ). Наприклад, при повороті довкола хз на кут а = 360°/ N матриця коефіцієнтів має вигляд:

,     (3)

а при віддзеркаленні в плоскості x 1 , x 2 має вигляд:

     (3a)

Поськольку N може бути будь-яким, число груп  безконечне. Проте в кристалах зважаючи на наявність кристалічної решітки можливі лише операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (окрім 5-го), які позначаються символами: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , а також інверсійні осі:  (вона ж центр симетрії),  = m (вона ж плоскість симетрії) . Тому кількість точкових кристалографічних груп, що описують зовнішню форму кристалів обмежено. Ці 32 групи С. до. приведені в таблиці. У міжнародні позначення точкових груп входять символи основних (що породжують) елементів симетрії, ним властивих. Ці групи об'єднуються по симетрії форми елементарного вічка (з періодами а , b , з і кутами а, b, g) в 7 сингоній кристалографічних — тріклінную, моноклінну, ромбічну, тетрагон трігональную, гексагональну і кубічну. Приналежність кристала до тієї або іншої групи визначається гоніометрічеськи (див. Гоніометр ) або рентгенографічно (див. Рентгенівський структурний аналіз ).

  Групи, повороти, що містять лише, описують кристали, що складаються лише з сумісно рівних частин. Ці групи називаються групами 1-го роду. Групи, що містять віддзеркалення, або інверсійні повороти, описують кристали, в яких дзеркальне рівні частини (але можуть бути і сумісно рівні частини). Ці групи називаються групами 2-го роду. Кристали, що описуються групами 1-го роду, можуть кристалізуватися в двох енантіоморфних формах, умовно званих «правою» і «лівою», кожна з них не містить елементів симетрії 2-го роду, але вони дзеркально дорівнюють один одному (див. Енантіоморфізм, Кварц ).

  Точкові групи описують симетрію не лише кристалів, але будь-яких кінцевих фігур. У живій природі часто спостерігається заборонена в кристалографії симетрія з осями 5-го, 7-го порядку і вище. Наприклад, для опису регулярної структури сферичних вірусів ( мал. 4 ), в оболонках яких дотримуються кристалографічні принципи щільного укладання молекул, виявилася важливою ікосаедрічеськая точкова група 532.

  Симетрія фізичних властивостей. Граничні групи. Відносно макроскопічних фізичних властивостей (оптичних, електричних, механічних і ін.), кристали поводяться як однорідне анізотропне середовище, тобто дискретність їх атомної структури не виявляється. Однорідність означає, що властивості однакові в будь-якій точці кристала, проте при цьому багато властивостей залежать від напряму (див. Анізотропія ). Залежність від напряму можна представити у вигляді функції і побудувати вказівну поверхню даної властивості ( мал. 5, див.(дивися) також ст. Крісталлооптіка ). Ця функція, яка може бути різною для різних фізичних властивостей кристала (векторною або тензорною) має певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії ограновування кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї по симетрії (принцип Неймана).

  Багато хто з властивостей кристалів, що належать до певних класів, описується граничними точковими групами, що містять осі симетрії безконечного порядку що позначаються ¥. Наявність осі ¥ означає, що об'єкт поєднується з собою при повороті на будь-якій, у тому числі нескінченно малий кут. Таких груп 7, вони представлені на мал.(малюнок) 6 зразковими фігурами і відповідними символами. Т. о., всього є 32 + 7 = 39 точкових груп, що описують симетрію властивостей кристалів. Знаючи групу С. до., можна вказати можливість наявності або відсутності в нім деяких фізичних властивостей (див. Кристали, Кристалофізика ).

Позначення і назви 32 груп точкової симетрії

Сингонія

Позначення

Назва

Співвідношення констант еле -
ментарной вічка

міжнародні

по Шенфлісу

Тріклінная

 

С 1

Моноедрічеськая

а ¹ b ¹ з

С 1

Пінакоїдальная

а ¹  b ¹  g ¹ 90°

Моноклінна

2

С 2

Діедрична осьова

а ¹ b ¹ з

m

Cs

Діедрична безосна

а =  g = 90°

2/m

C 2h

Призматична

 b ¹ 90°

Ромбічна

222

D 2

Ромбо-тетраєдр

а ¹ b ¹ з

mm

C 2 u

Ромбо-пірамідальна

 

mmm

D 2h

Ромбо-діпірамідальная

а = b = g = 90°

Тетрагон

4

C 4

пірамідальна для Тетрагона

а = b ¹ з

а = b = g = 90°

422

D 4

Тетрагонально-трапецоедрічеськая

4/m

C 4h

Тетрагонально-діпірамідальная

4mm

C 4 u

дитетрагонально-пірамідальна

4/mmm

D 4h

Дітетрагонально-діпірамідальная

S 4

тетрагон-тетраедр

D 2d

Тетрагонально-ськаленоедрічеськая

Трігональная

3

C 3

Трігонально-пірамідальна

а = b = з

а = b = g ¹ 90°

32

D 3

Трігонально-трапецоедрічеськая

3m

C 3 u

дитригонально-пірамідальна

C 3i

Ромбоедрична

D 3d

Дітрігонально-ськаленоедрічеськая

C 3h

Трігонально-діпірамідальная

Гексагональна

D 3h

Дітрігонально-діпірамідальная

а = b ¹ з

а = b = 90°

 g = 120°

6

C 6

гексагонально-пірамідальна

62

D 6

Гексагонально-трапецоедрічеськая

6/m

C 6h

Гексагонально-діпірамідальная

6mm

C 6 u

дигексагонально-пірамідальна

6/mmm

D 6h

Дігексагонально-діпірамідальная

Кубічна

23

T

Трітетраедрічеськая

а = b = з

а = b = g = 90°

m3

T h

Дідодекаедрічеськая

T d

Гексатетраедрічеськая

43

O

Тріоктаедрічеськая

m3m

Oh

Гексоктаедрічеськая

  Просторова симетрія атомної структури кристалів (кристалічної решітки) описується просторовими групами симетрії . Характерними для грат операціями є три некомпланарні перенесення а , b , з , званих трансляціями, які задають тривимірну періодичність атомної структури кристалів. Зрушення (перенесення) структури на вектори a 1 , b 2 , c 3 або будь-який вектор t = p 1 a 1 + p 2 b 2 + p 3 c 3 , де p 1 , p 2 , p 3 — будь-які цілі позитивні або негативні числа, поєднує структуру кристала з собою, і отже, є операцією симетрії, що задовольняє умовам ( 1 , а, би). Паралелепіпед, побудований на векторах а , b і з , називається паралелепіпедом повторюваності або елементарним вічком кристала ( мал. 7 , а, би). У елементарному вічку міститься деяке мінімальне угрупування атомів, «розмноження» якого операціями симетрії, у тому числі трансляціями, утворює кристалічну решітку. Елементарне вічко і розміщення в ній атомів встановлюється методами рентгенівського структурного аналізу, електронографії або нейтронографії .

  Унаслідок можливості комбінування в гратах трансляцій і операцій точкової симетрії в групах G 3 3 виникають операції і відповідні ним елементи симетрії з трансляцією компонентой — гвинтові осі різних порядків і плоскості ковзаючого віддзеркалення ( мал. 2 , д).

  Всього відомо 230 просторових (федоровських) груп симетрії, і будь-який кристал відноситься до однієї з цих груп. Трансляції компоненти елементів мікросиметрії макроскопічно не виявляються, наприклад гвинтова вісь в ограновуванні кристалів виявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп  макроскопічно подібна з однією з 32 точкових груп. Наприклад, точковій групі mmm або D 2h подібні 28 просторових груп. Сукупність перенесень, властивих даній просторовій групі, є її підгрупа трансляції, або Браве грати ; таких грат існує 14.

  Симетрія шарів і ланцюгів. Для опису плоских або витягнутих в одному напрямі фрагментів структури кристалів можуть бути використані групи  — двовимірно періодичні і  — одновимірно періодичні в тривимірному просторі. Ці групи грають важливу роль у вивченні біологічних структур і молекул. Наприклад, групи  описують будову біологічних мембран, групи  — ланцюгових молекул ( мал. 8 , а) палочкообразних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків ( мал. 8 , би), в яких молекули укладені згідно спіральної (гвинтовий) симетрії, можливої в групах .

  Узагальнена симетрія. В основі визначення симетрії лежить поняття рівності ( 1 , би) при перетворенні ( 1 , а). Проте фізично (і математично) об'єкт може дорівнювати собі по одних ознаках і не бути рівний по інших. Наприклад, розподіл ядер і електронів в кристалі антиферомагнетика можна описати за допомогою звичайної просторової симетрії, але якщо врахувати розподіл в нім магнітних моментів ( мал. 9 ), то «звичайній», класичній симетрії вже недостатньо. До подібного роду узагальненням симетрії відноситься антисиметрія і кольорова симетрія. У антисиметрії на додаток до трьох просторових змінних x 1 , x 2 , x 3 вводиться додаткова, 4-я змінна x 4 = ± 1. Це можна тлумачити таким чином, що при перетворенні ( 1 , а) функція F може бути не лише дорівнює собі, як в ( 1 , би), але і змінити знак. Умовно таку операцію можна змалювати зміною кольору ( мал. 10 ). Існує 58 груп точкової антисиметрії  і 1651 просторова група антисиметрії  (шубниковських груп). Якщо додаткова змінна набуває не два значення, а декілька (можливі числа 3, 4, 6, 8..., 48), то виникає «кольорова» симетрія Белова. Так, відомо 81 точкову групу G 0 3, ц . Основні додатки узагальненої симетрії в кристалографії — опис магнітних структур.

  Ін.(Древн) узагальнення симетрії: симетрія подібності, коли рівність частин фігури замінюється їх подібністю ( мал. 11 ), криволінійна симетрія, статистична симетрія, що вводиться при описі структури разупорядоченних кристалів, твердих розчинів, рідких кристалів, і ін.

  Літ.: Кожухарів А. Ст, Копцик Ст А., Симетрія в науці і мистецтві, 2 видавництва, М., 1972; Вейль Р., Симетрія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968; Федоров Е. С.. Симетрія і структура кристалів, [М.], 1949; Кожухарів А. Ст, Симетрія і антисиметрія кінцевих фігур, М., 1951.

  Би. До. Вайнштейн.

Мал. 3. Приклади кристалів, що належать до різних точкових груп або кристалографічних класів: а — до класу m (одна плоскість симетрії); б — до класу з (один центр симетрії); у — до класу 2 (одна вісь симетрії 2-го порядку); г — до класу 6 (одна дзеркальна вісь 6-го порядку).

Мал. 8. Об'єкти із спіральною симетрією: а — молекула ДНК(дезоксирибонуклеїнова кислота); б — трубчастий кристал білка фосфорилази (електронномікроськопічеський знімок, збільшено).

Мал. 7. Елементарні вічка кристалів: а — K 2 Ptcl 6 ; би — Cucl 2 ×2H 2 O.

Мал. 4. Cферічеський вірус (електронно-мікроскопічний знімок, збільшено).