Симетрія кристалів, свойство кристалів поєднуватися з собою в різних положеннях шляхом поворотів, віддзеркалень, паралельних перенесень або частини або комбінації цих операцій. Симетрія зовнішньої форми (ограновування) кристала визначається симетрією його атомної будови, яка обумовлює також і симетрію фізичних властивостей кристала.
На мал.(малюнок) 1 , а змальований кристал кварцу . Зовнішня його форма така, що поворотом на 120° довкола осі 3 він може бути поєднаний сам з собою (сумісна рівність). Кристал метасилікату натрію ( мал. 1 , би) перетвориться в себе віддзеркаленням в плоскості симетрії m (дзеркальна рівність). Т. о., симетрія означає можливість перетворення об'єкту що поєднує його з собою. Якщо F ( x 1 , x 2 , x 3 ) — функція, що описує об'єкт, наприклад форму кристала в тривимірному просторі або яке-небудь його властивість, а операція g [ x 1 , x 2 , x 3 ] здійснює перетворення координат всіх точок об'єкту, то g є операцією або перетворенням симетрії, а F — симетричним об'єктом, якщо виконуються умови:
g [ x 1 . x 2 , x 3 ] = (1, а )
F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = F ( x 2 , x 2 , x 3 ). (1, би )
В найбільш загальному формулюванню симетрія — незмінність (інваріантність) об'єктів при деяких перетвореннях їх змінних, що описують. Кристали — об'єкти в тривимірному просторі, тому класична теорія С. до. — теорія симетричних перетворень в себе тривимірного простору з урахуванням того, що внутрішня атомна структура кристалів — тривимірно-періодична, тобто описується як кристалічна решітка . При перетвореннях симетрії простір не деформується, а перетвориться як жорстке ціле (ортогональне, або ізометричне, перетворення). Після перетворення симетрії частини об'єкту, що знаходилися в одному місці, збігаються з частинами, що знаходяться в ін. місці. Це означає, що в симетричному об'єкті є рівні частини (сумісні або дзеркальні).
С. до. виявляється не лише в їх структурі і властивостях в реальному тривимірному просторі, але також і при описі енергетичного спектру електронів кристала в імпульсному просторі (див. Тверде тіло ), при аналізі процесів дифракція рентгенівських променів в кристалах за допомогою простору зворотних довжин і т. п.
Група симетрії кристалів. Кристалу може бути властива не одна, а декілька операцій симетрії. Так, кристал кварцу ( мал. 1 , а) поєднується з собою нс лише при повороті на 120° довкола осі 3 (операція g 1 ), ний при повороті довкола осі 3 на 240° (операція g 2 ), а також при поворотах на 180° довкола осей 2 x , 2 в , 2 w (операції g 3 , g 4 і g 5 ). Кожній операції симетрії може бути зіставлений геометричний образ — елемент симетрії — пряма, плоскість або крапка, відносно якої виробляється дана операція. Наприклад, вісь 3 або осі 2 x , 2 в , 2 w є осями симетрії, плоскість m ( мал. 1 , би) — плоскістю дзеркальної симетрії і т. п. Сукупність операцій симетрії [ g 1 ..., g n ] даного кристала утворює групу симетрії G в сенсі математичної теорії груп . Послідовне проведення двох операцій симетрії також є операцією симетрії. Завжди існує операція ідентичності g 0 , нічого що не змінює в кристалі, називається ототожненням, геометрично відповідна нерухомості об'єкту або повороту його на 360° довкола будь-якої осі. Число операцій, створюючих групу G , називається порядком групи.
Групи симетрії класифікують: по числу n вимірів простори, в яких вони визначені; по числу т вимірів простори, в яких об'єкт періодичний (їх відповідно позначають G m n ) і по деяких іншим ознакам. Для опису кристалів використовують різні групи симетрії, з яких найважливішими є просторові групи симетрії G 3 3 , що описують атомну структуру кристалів, і точкові групи симетрії G 0 3 , що описують їх зовнішню форму. Останні називаються також кристалографічними класами.
Симетрія ограновування кристалів. Операціями точкової симетрії є: повороти довкола осі симетрії порядку N на 360°/ N ( мал. 2 , а), віддзеркалення в плоскості симетрії (дзеркальне віддзеркалення, мал. 2 , би), інверсія (симетрія відносно крапки, мал. 2 , в), інверсійні повороти (комбінація повороту на 360°/ N з одночасною інверсією, мал. 2 , г). Замість інверсійних поворотів інколи розглядають дзеркальні повороти . Геометрично можливі поєднання цих операцій визначають ту або іншу точкову групу ( мал. 3 ), які зображаються зазвичай в стереографічній проекції. При перетвореннях точкової симетрії принаймні одна точка об'єкту залишається нерухомою — перетвориться сама в себе. У ній перетинаються всі елементи симетрії, і вона є центром стереографічної проекції.
Точкові перетворення симетрії g [ x 1 , x 2 , x 3 ] = описуються лінійними рівняннями:
x'' 1 = а 11 х 1 + а 12 x 2 + а 13 x 3 ,
x'' 2 = а 21 x 1 + а 22 x 2 + а 23 x 3 , (2)
x'' 3 = а 31 x 1 + а 32 x 2 + а 33 x 3
тобто матрицею коефіцієнта ( а ij ). Наприклад, при повороті довкола хз на кут а = 360°/ N матриця коефіцієнтів має вигляд:
, (3)
а при віддзеркаленні в плоскості x 1 , x 2 має вигляд:
(3a)
Поськольку N може бути будь-яким, число груп безконечне. Проте в кристалах зважаючи на наявність кристалічної решітки можливі лише операції і відповідно осі симетрії до 6-го порядку (окрім 5-го), які позначаються символами: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , а також інверсійні осі: (вона ж центр симетрії), = m (вона ж плоскість симетрії) . Тому кількість точкових кристалографічних груп, що описують зовнішню форму кристалів обмежено. Ці 32 групи С. до. приведені в таблиці. У міжнародні позначення точкових груп входять символи основних (що породжують) елементів симетрії, ним властивих. Ці групи об'єднуються по симетрії форми елементарного вічка (з періодами а , b , з і кутами а, b, g) в 7 сингоній кристалографічних — тріклінную, моноклінну, ромбічну, тетрагон трігональную, гексагональну і кубічну. Приналежність кристала до тієї або іншої групи визначається гоніометрічеськи (див. Гоніометр ) або рентгенографічно (див. Рентгенівський структурний аналіз ).
Групи, повороти, що містять лише, описують кристали, що складаються лише з сумісно рівних частин. Ці групи називаються групами 1-го роду. Групи, що містять віддзеркалення, або інверсійні повороти, описують кристали, в яких дзеркальне рівні частини (але можуть бути і сумісно рівні частини). Ці групи називаються групами 2-го роду. Кристали, що описуються групами 1-го роду, можуть кристалізуватися в двох енантіоморфних формах, умовно званих «правою» і «лівою», кожна з них не містить елементів симетрії 2-го роду, але вони дзеркально дорівнюють один одному (див. Енантіоморфізм, Кварц ).
Точкові групи описують симетрію не лише кристалів, але будь-яких кінцевих фігур. У живій природі часто спостерігається заборонена в кристалографії симетрія з осями 5-го, 7-го порядку і вище. Наприклад, для опису регулярної структури сферичних вірусів ( мал. 4 ), в оболонках яких дотримуються кристалографічні принципи щільного укладання молекул, виявилася важливою ікосаедрічеськая точкова група 532.
Симетрія фізичних властивостей. Граничні групи. Відносно макроскопічних фізичних властивостей (оптичних, електричних, механічних і ін.), кристали поводяться як однорідне анізотропне середовище, тобто дискретність їх атомної структури не виявляється. Однорідність означає, що властивості однакові в будь-якій точці кристала, проте при цьому багато властивостей залежать від напряму (див. Анізотропія ). Залежність від напряму можна представити у вигляді функції і побудувати вказівну поверхню даної властивості ( мал. 5, див.(дивися) також ст. Крісталлооптіка ). Ця функція, яка може бути різною для різних фізичних властивостей кристала (векторною або тензорною) має певну точкову симетрію, однозначно пов'язану з групою симетрії ограновування кристала. Вона або збігається з нею, або вище за неї по симетрії (принцип Неймана).
Багато хто з властивостей кристалів, що належать до певних класів, описується граничними точковими групами, що містять осі симетрії безконечного порядку що позначаються ¥. Наявність осі ¥ означає, що об'єкт поєднується з собою при повороті на будь-якій, у тому числі нескінченно малий кут. Таких груп 7, вони представлені на мал.(малюнок) 6 зразковими фігурами і відповідними символами. Т. о., всього є 32 + 7 = 39 точкових груп, що описують симетрію властивостей кристалів. Знаючи групу С. до., можна вказати можливість наявності або відсутності в нім деяких фізичних властивостей (див. Кристали, Кристалофізика ).
Позначення і назви 32 груп точкової симетрії
Сингонія
Позначення
Назва
Співвідношення констант еле - ментарной вічка
міжнародні
по Шенфлісу
Тріклінная
С 1
Моноедрічеськая
а ¹ b ¹ з
С 1
Пінакоїдальная
а ¹ b ¹ g ¹ 90°
Моноклінна
2
С 2
Діедрична осьова
а ¹ b ¹ з
m
Cs
Діедрична безосна
а = g = 90°
2/m
C 2h
Призматична
b ¹ 90°
Ромбічна
222
D 2
Ромбо-тетраєдр
а ¹ b ¹ з
mm
C 2 u
Ромбо-пірамідальна
mmm
D 2h
Ромбо-діпірамідальная
а = b = g = 90°
Тетрагон
4
C 4
пірамідальна для Тетрагона
а = b ¹ з
а = b = g = 90°
422
D 4
Тетрагонально-трапецоедрічеськая
4/m
C 4h
Тетрагонально-діпірамідальная
4mm
C 4 u
дитетрагонально-пірамідальна
4/mmm
D 4h
Дітетрагонально-діпірамідальная
S 4
тетрагон-тетраедр
D 2d
Тетрагонально-ськаленоедрічеськая
Трігональная
3
C 3
Трігонально-пірамідальна
а = b = з
а = b = g ¹ 90°
32
D 3
Трігонально-трапецоедрічеськая
3m
C 3 u
дитригонально-пірамідальна
C 3i
Ромбоедрична
D 3d
Дітрігонально-ськаленоедрічеськая
C 3h
Трігонально-діпірамідальная
Гексагональна
D 3h
Дітрігонально-діпірамідальная
а = b ¹ з
а = b = 90°
g = 120°
6
C 6
гексагонально-пірамідальна
62
D 6
Гексагонально-трапецоедрічеськая
6/m
C 6h
Гексагонально-діпірамідальная
6mm
C 6 u
дигексагонально-пірамідальна
6/mmm
D 6h
Дігексагонально-діпірамідальная
Кубічна
23
T
Трітетраедрічеськая
а = b = з
а = b = g = 90°
m3
T h
Дідодекаедрічеськая
T d
Гексатетраедрічеськая
43
O
Тріоктаедрічеськая
m3m
Oh
Гексоктаедрічеськая
Просторова симетрія атомної структури кристалів (кристалічної решітки) описується просторовими групами симетрії . Характерними для грат операціями є три некомпланарні перенесення а , b , з , званих трансляціями, які задають тривимірну періодичність атомної структури кристалів. Зрушення (перенесення) структури на вектори a 1 , b 2 , c 3 або будь-який вектор t = p 1 a 1 + p 2 b 2 + p 3 c 3 , де p 1 , p 2 , p 3 — будь-які цілі позитивні або негативні числа, поєднує структуру кристала з собою, і отже, є операцією симетрії, що задовольняє умовам ( 1 , а, би). Паралелепіпед, побудований на векторах а , b і з , називається паралелепіпедом повторюваності або елементарним вічком кристала ( мал. 7 , а, би). У елементарному вічку міститься деяке мінімальне угрупування атомів, «розмноження» якого операціями симетрії, у тому числі трансляціями, утворює кристалічну решітку. Елементарне вічко і розміщення в ній атомів встановлюється методами рентгенівського структурного аналізу, електронографії або нейтронографії .
Унаслідок можливості комбінування в гратах трансляцій і операцій точкової симетрії в групах G 3 3 виникають операції і відповідні ним елементи симетрії з трансляцією компонентой — гвинтові осі різних порядків і плоскості ковзаючого віддзеркалення ( мал. 2 , д).
Всього відомо 230 просторових (федоровських) груп симетрії, і будь-який кристал відноситься до однієї з цих груп. Трансляції компоненти елементів мікросиметрії макроскопічно не виявляються, наприклад гвинтова вісь в ограновуванні кристалів виявляється як відповідна по порядку проста поворотна вісь. Тому кожна з 230 груп макроскопічно подібна з однією з 32 точкових груп. Наприклад, точковій групі mmm або D 2h подібні 28 просторових груп. Сукупність перенесень, властивих даній просторовій групі, є її підгрупа трансляції, або Браве грати ; таких грат існує 14.
Симетрія шарів і ланцюгів. Для опису плоских або витягнутих в одному напрямі фрагментів структури кристалів можуть бути використані групи — двовимірно періодичні і — одновимірно періодичні в тривимірному просторі. Ці групи грають важливу роль у вивченні біологічних структур і молекул. Наприклад, групи описують будову біологічних мембран, групи — ланцюгових молекул ( мал. 8 , а) палочкообразних вірусів, трубчастих кристалів глобулярних білків ( мал. 8 , би), в яких молекули укладені згідно спіральної (гвинтовий) симетрії, можливої в групах .
Узагальнена симетрія. В основі визначення симетрії лежить поняття рівності ( 1 , би) при перетворенні ( 1 , а). Проте фізично (і математично) об'єкт може дорівнювати собі по одних ознаках і не бути рівний по інших. Наприклад, розподіл ядер і електронів в кристалі антиферомагнетика можна описати за допомогою звичайної просторової симетрії, але якщо врахувати розподіл в нім магнітних моментів ( мал. 9 ), то «звичайній», класичній симетрії вже недостатньо. До подібного роду узагальненням симетрії відноситься антисиметрія і кольорова симетрія. У антисиметрії на додаток до трьох просторових змінних x 1 , x 2 , x 3 вводиться додаткова, 4-я змінна x 4 = ± 1. Це можна тлумачити таким чином, що при перетворенні ( 1 , а) функція F може бути не лише дорівнює собі, як в ( 1 , би), але і змінити знак. Умовно таку операцію можна змалювати зміною кольору ( мал. 10 ). Існує 58 груп точкової антисиметрії і 1651 просторова група антисиметрії (шубниковських груп). Якщо додаткова змінна набуває не два значення, а декілька (можливі числа 3, 4, 6, 8..., 48), то виникає «кольорова» симетрія Белова. Так, відомо 81 точкову групу G 0 3, ц . Основні додатки узагальненої симетрії в кристалографії — опис магнітних структур.
Ін.(Древн) узагальнення симетрії: симетрія подібності, коли рівність частин фігури замінюється їх подібністю ( мал. 11 ), криволінійна симетрія, статистична симетрія, що вводиться при описі структури разупорядоченних кристалів, твердих розчинів, рідких кристалів, і ін.
Літ.: Кожухарів А. Ст, Копцик Ст А., Симетрія в науці і мистецтві, 2 видавництва, М., 1972; Вейль Р., Симетрія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1968; Федоров Е. С.. Симетрія і структура кристалів, [М.], 1949; Кожухарів А. Ст, Симетрія і антисиметрія кінцевих фігур, М., 1951.
