Поля теорія
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Поля теорія

Поля теорія , математична теорія, що вивчає властивості скалярних, векторних (у загальному випадку — тензорних) полів, тобто областей простору (або плоскість), кожній точці М-коду які поставлено у відповідність число u ( М-код ) (наприклад, температура, тиск, щільність, магнітна проникність) або вектор а ( М-код ) (наприклад, швидкість частки поточної рідини, напруженість силового поля, в частковості електричного або магнітного поля) або тензор (наприклад, напруга в крапці пружного тіла, провідність в анізотропному телі). Основним апаратом П. т. є векторний і тензорний аналіз (див. Векторне числення, Тензорне числення ) .

  Багато понять диференціального і інтегрального числення функцій декілька змінних переносяться в П. т. Серед них важливе значення для опису скалярних полів має похідна по напряму максимальної зміни скалярного поля — т.з. градієнт вектор, інваріантний відносно вибору системи координат. Зміни векторного поля в 1-м-коді наближенні характеризуються двома величинами: скаляром, називається дивергенцією (або розбіжністю) поля, який характеризує зміну інтенсивності (щільність) поля, і вектором, називається вихором (або ротором) поля, який є векторною характеристикою «обертальної складової» векторного поля (його «скручування»). Операцію переходу від скалярного поля до його градієнта і операцію переходу від векторного поля до його дивергенція часто позначає Гамільтона оператором . Градієнт скалярного поля, дивергенція і вихор векторного поля зазвичай називають основними диференціальними операціями П. т. До них інколи відносять операцію послідовного виконання градієнта і дивергенції, яка позначається Лапласа оператором . При вживанні основних диференціальних операцій до полів з певними видами симетрій (сферичних, циліндрових і ін.) використовують спеціальні види криволінійних координат (полярні, циліндрові і ін.), що спрощує обчислення.

  В П. т. використовується ряд інтегральних співвідношень і понять, зв'язуюче диференціювання і інтеграцію при вивченні частин (або в цілому) полів. Так, потоком векторного поля через поверхню називається інтеграл по поверхні від скалярного твору вектора поля на одиничний вектор нормалі до поверхні. Потік векторного поля зв'язується з дивергенцією за допомогою Остроградського формули : потік векторного поля через поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції за об'ємом, обмеженому цією поверхнею. Ін.(Древн) важливою характеристикою векторних полів є циркуляція векторного поля по замкнутому контуру — інтеграл по контуру від скалярного твору векторного поля на одиничний вектор дотичної до контура. Циркуляція вектора по замкнутому контуру дорівнює інтегралу від вихору поля по будь-якій поверхні, обмеженій даним контуром ( Стоксу формула ) . По вихору і дивергенції розрізняють потенційні поля (rot а = 0), соленоїди (div а = 0) і лапласови (Dj = 0).

  Літ. див.(дивися) при статтях Векторне числення, Тензорне числення .

  А. Б. Іванов.