Кінцева математика, область математики, що займається вивченням властивостей структур фінітного (кінцевого) характеру, які виникають як усередині математики, так і в її застосуваннях. До таких кінцевих структур можуть бути віднесені, наприклад, кінцеві групи, кінцеві графи, а також деякі математичні моделі перетворювачів інформації, кінцеві автомати, машина Т'юринга і т. п. Інколи допускають розширення предмету До. м. до довільних дискретних структур і приходять до дискретної математики, ототожнюючи останню з До. м. До таких структур можуть бути віднесені деякі системи алгебри, безконечні графи, певні види обчислювальних схем, клітинні автомати і т. д. Як синонім понять «До. м.» і «дискретна математика» інколи уживається термін «дискретний аналіз». Нижче термін «До. м.» розуміється в широкому сенсі, що включає дискретну математику.
На відміну від До. м., класична математика в основному займається вивченням властивостей об'єктів безперервного характеру. Використання класичної математики або До. м. як апаратів дослідження пов'язано з тим, які завдання ставить перед собою дослідник і, у зв'язку з цим, яку модель явища, що вивчається, він розглядає, дискретну або безперервну. Так, наприклад, при знаходженні маси радіоактивної речовини в даний момент з певною точністю можна вважати, що процес зміни маси при радіоактивному розпаді носить безперервний характер, і в той же час ясний, що насправді цей процес дискретний. Само ділення математики на класичну і дискретну значною мірою умовно, оскільки, наприклад, з одного боку, відбувається активна циркуляція ідей і методів між ними, а з іншої — часто виникає необхідність дослідження моделей, що володіють як дискретними, так і безперервними властивостями одночасно. Слідує відзначити також, що в математиці існують підрозділи, що використовують засоби дискретної математики для вивчення безперервних моделей (наприклад, геометрія алгебри ) і, навпаки, часто засоби і постановки завдань класичного аналізу використовуються при дослідженні дискретних структур (наприклад, асимптотичні питання в теорії чисел). Ці приклади вказують на відоме злиття даних областей.
До. м. є важливий напрям в математику, в якому можна виділити характерні для До. м. предмет дослідження, методи і завдання, специфіка яких обумовлена в першу чергу необхідністю відмови в До. м. від основоположних понять класичної математики — межі і безперервності — і у зв'язку з цим тим, що для багатьох завдань До. м. сильні засоби класичної математики виявляються, як правило, мало прийнятними. Поряд з виділенням До. м. шляхом вказівки її предмету можна також визначити До. м. за допомогою перерахування підрозділів, складових До. м. До них в першу чергу мають бути віднесені комбінаторний аналіз, графів теорія, теорія кодування, теорія функціональних систем і деякі інші. Часто під терміном «До. м.», передбачаючи, що її предмет вичерпується кінцевими структурами, розуміється саме сукупність перерахованих дисциплін. Як наголошувалося, можливо і ширше тлумачення До. м. за рахунок розширення розуміння її предмету. З цієї точки зору до До. м. можуть бути також віднесені як цілі розділи математики, наприклад математична логіка, так і частини таких розділів, як теорія чисел, алгебра, обчислювальна математика, теорія вірогідності та інші, в яких об'єкт, що вивчається, носить дискретний характер.
Елементи До. м. виникли в глибокій старовині і, розвиваючись паралельно з іншими розділами математики, значною мірою були їх складовою частиною. Типовими для того періоду були завдання, що пов'язані з властивостями цілих чисел і привели потім до створення теорії чисел. До їх числа можуть бути віднесені відшукання алгоритмів складання і множення натуральних чисел у древніх єгиптян (2-і тис. до н.е.(наша ера)), завдання про підсумовування і питання подільності натуральних чисел в піфагорійськой школі (6 ст до н.е.(наша ера)) і т. п. Пізніше (17—18 вв.(століття)), в основному у зв'язку з ігровими завданнями, з'явилися елементи комбінаторного аналізу і дискретної теорії вірогідності (Б. Паськаль, П. Ферма і ін.), а у зв'язку із загальними проблемами теорії чисел, алгебра і геометрія (18—19 вв.(століття)) виникли найважливіші поняття алгебри, такі як група, поле, кільце і ін. (Же. Лагранж, Е. Галуа і ін.), розвиток, що визначили, і вміст алгебри на багато років вперед і що мали по суті дискретну природу. Прагнення до строгості математичних міркувань і аналіз робочого інструменту математики — логіки привели до виділення ще одного важливого розділу математики — математичної логіки (19— 20 вв.(століття)). Проте найбільшого розвитку До. м. досягла у зв'язку із запитами практики, що привели до появи нової науки, — кібернетики і її теоретичної часті—математічеськой кібернетики (20 ст). Математична кібернетика що безпосередньо вивчає з позицій математики найрізноманітніші проблеми, які ставить перед кібернетикою практична діяльність людини, є потужним постачальником ідей і завдань для До. м., викликаючи до життя цілі нові напрями в До. м. Так, прикладні питання, що вимагають великої числової обробки, стимулювали появу сильних чисельних методів вирішення завдань, що оформилися потім в обчислювальну математику, а аналіз понять «вичислімость» і «алгоритм» привів до створення важливого розділу математичної логіки — теорії алгоритмів. Зростаючий потік інформації і пов'язані з ним завдання зберігання, обробки і передачі інформації привели до виникнення теорії кодування; економічні завдання, завдання електротехніки, так само як і внутрішні завдання математики, зажадали розробки теорії графів; завдання конструювання і опису роботи складних керівників систем склали теорію функціональних систем і т. д. В той же час математична кібернетика широко використовує результати До. м. при вирішенні своїх завдань.
Поряд з вже відміченими, До. м. має ще ряд особливостей. Так, разом із завданнями типа існування, що мають загальноматематичний характер, важливе місце в До. м. займають завдання, пов'язані з алгоритмічною вирішуваною і побудовою конкретних вирішальних алгоритмів, що характерний вже для До. м. Іншою особливістю До. м. є те, що вона по суті першої показала необхідність глибокого дослідження так званих дискретних багатоекстремальних завдань, що особливо часто виникають в математичній кібернетиці. Відповідні методи класичної математики для пошуку екстремумів, що істотно використовують певну гладкість функцій, в цих випадках виявляються мало ефективними. Типовими завданнями такого роду в До. м. є, наприклад, завдання про відшуканні в деякому розумінні оптимальних стратегій в шаховій партії при обмеженому числі ходів, а також важливе питання математичної кібернетики про побудову мінімальних диз'юнктивних нормальних форм для булевих функцій, тобто так звана проблема мінімізації булевих функцій (див. Алгебра логіки ) , і т. п. Особливістю До. м., пов'язаною вже із завданнями для кінцевих структур, є і те що для багатьох з цих завдань, як правило, існує алгоритм рішення, тоді як в класичній математиці повне рішення задачі часто можливо лише при вельми жорстких обмеженнях. Прикладом такого алгоритму може служити алгоритм перегляду всіх можливих варіантів, тобто так званий алгоритм типа «повного перебору». До завдань вказаного вигляду можуть бути віднесені, наприклад, згадані завдання про стратегії в шаховій партії, про мінімізацію булевих функцій і ін. В той же час вирішення типа «повного перебору» дуже трудомісткі і практично мало прийнятні, у зв'язку з чим виникає ряд нових завдань, пов'язаних з умовами, що обмежують перебір і що приводять до уваги індивідуальних завдань, що характеризуються конкретними значеннями параметрів, до масової проблеми, що характеризується безконечним безліччю значень параметрів; виникають завдання в накладенні обмежень, природних для цього класу завдань, на засоби вирішення і т. п. Постановка такого роду питань і розробка методик здійснюється на конкретних моделях, що доставляються різними розділами математики. До їх числа відносяться, наприклад, моделі мінімізації булевих функцій, синтезу систем, що управляють, з математичної кібернетики і ряд інших.
Літ.: Яблонський С. Ст, Огляд деяких результатів в області дискретної математики, «Інформаційні матеріали», 1970 №5(42), с. 5—15; Кемені Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введення в кінцеву математику, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1965; Дискретний аналіз. Сб. праць (Новосиб., 1963).
